Questão 6: (1,3 pontos)
Seja
. Mostre que
é conservativo e determine a função potencial de
. Qual é o trabalho realizado por
sobre uma partícula que desloca ao longo da curva de equações paramétricas
.
Seja
Passo 1
A gente tem o campo vetorial
. O que o exercício pede é: (i) mostrar que
é conservativo, (ii) achar a função potencial
e (iii) calcular o trabalho ao longo da curva dada. Para isso vamos usar a condição
e depois o Teorema Fundamental dos Campos Conservativos.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como os dois são iguais,
é conservativo num domínio convexo (o plano todo).
Passo 3
Agora, para achar a função potencial
satisfazendo
e
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
. Diferenciando em relação a
e igualando a
dá:
logo
e
. Assim podemos escolher a potencial (com
) como
Passo 4
Como o campo é conservativo, o trabalho é simplesmente
. A curva é
,
para
. Em
temos
,
e em
também
, então
,
. Logo
calculamos as potenciais nos pontos: e
. Portanto o trabalho é
.
calculamos as potenciais nos pontos:
Resposta
A função potencial pode ser escolhida como
, e o trabalho realizado ao longo da curva é
.