Questão 6: (1,3 pontos)
Seja F. Mostre que F é conservativo e determine a função potencial de F. Qual é o trabalho realizado por lx=t+arcsen(sen t) y=2pi arcsen(sen t) sobre uma partícula que desloca ao longo da curva de equações paramétricas .

Passo 1

A gente tem o campo vetorial vec F(x,y)=(1 - y e^-x + e^-y),vec i + (1 + e^-x - x e^-y),vec j. O que o exercício pede é: (i) mostrar que vec F é conservativo, (ii) achar a função potencial f(x,y) e (iii) calcular o trabalho ao longo da curva dada. Para isso vamos usar a condição partial P/partial y=partial Q/partial x e depois o Teorema Fundamental dos Campos Conservativos.

Passo 2

Primeiro, identificamos P(x,y)=1 - y e^-x + e^-y e Q(x,y)=1 + e^-x - x e^-y. Calculamos as derivadas parciais: partial Ppartial y=-e^-x-e^-y,partial Qpartial x=-e^-x-e^-yComo os dois são iguais, vec F é conservativo num domínio convexo (o plano todo).

Passo 3

Agora, para achar a função potencial f(x,y) satisfazendo partial f/partial x=P e partial f/partial y=Q, integramos P em relação a x: f(x,y)=integral(1 - y e^-x + e^-y),dx = x + y e^-x + x e^-y + h(y),onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y. Diferenciando em relação a y e igualando a Q dá: partial fpartial y=e^-x-x e^-y+h'(y)=1+e^-x-x e^-y,logo h'(y)=1 e h(y)=y+C. Assim podemos escolher a potencial (com C=0) como f(x,y)=x + y e^-x + x e^-y + y

Passo 4

Como o campo é conservativo, o trabalho é simplesmente f(B)-f(A). A curva é x(t)=t+arcsin(sin t), y(t)=tfrac2piarcsin(sin t) para 0<= t<=8pi. Em t=0 temos x(0)=0, y(0)=0 e em t=8pi também arcsin(sin8pi)=0, então x(8pi)=8pi, y(8pi)=0. Logo
calculamos as potenciais nos pontos: f(0,0)=0 e f(8pi,0)=8pi + 0 + 8picdot1 + 0 =16pi. Portanto o trabalho é 16pi-0=16pi.

Resposta

A função potencial pode ser escolhida como f(x,y)=x + y e^-x + x e^-y + y, e o trabalho realizado ao longo da curva é 16pi.

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