Determine se existe uma função injetiva
satisfazendo
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe uma função injetiva f: ℝ→ℝ tal que para todo x ∈ ℝ valha a desigualdade f(x²) – [f(x)]² ≥ 1/4. Vamos usar valores especiais de x e resolver a desigualdade quadrática completando o quadrado.
Passo 2
Observe que se x² = x (isto é, para x = 0 ou x = 1) temos f(x²) = f(x), então a desigualdade vira f(x) – [f(x)]² ≥ 1/4. Vamos chamar a = f(x) e resolver −a² + a – 1/4 ≥ 0.
Passo 3
Completemos o quadrado: −a² + a – 1/4 = −(a² – a + 1/4) = −(a – 1/2)². A condição −(a – 1/2)² ≥ 0 só ocorre quando (a – 1/2)² = 0, ou seja, a = 1/2. Logo f(0) = 1/2 e f(1) = 1/2.
Passo 4
Como f(0) = f(1), a função não pode ser injetiva (injeta implicaria valores distintos para 0 e 1). Isso contradiz a exigência de injetividade.
Resposta
Não existe função injetiva f: ℝ→ℝ que satisfaça f(x²) – [f(x)]² ≥ 1/4 para todo x.