Questão 7: (1,3 pontos)
Calcule R, sendo (0,0)(1,0) o triângulo com vertices (1,2) e .

Passo 1

A questão pede para calcular integral duplaR(3y + 3x^4y^2),dx,dy, onde R é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,2). O conteúdo aqui é integrais duplas em coordenadas cartesianas e vamos precisar descrever bem a região R antes de integrar.

Passo 2

Observando o triângulo, para cada x entre 0 e 1 a fronteira inferior é y=0 e a superior é a reta que vai de (0,0) a (1,2), dada por y=2x. Portanto podemos descrever
R=(x,y):0<= x<=1,,0<= y<=2x, e usar essa descrição na integral.

Passo 3

A integral dupla vira uma iterada em y e depois em x:
integralx=0^1integraly=0^2xl(3y + 3x^4y^2r),dy,dx
Vamos resolver nessa ordem.

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^2x(3y + 3x^4y^2),dy = [32y^2 + x^4y^3]0^2x = 6x^2 + 8x^7
Isso simplifica a integral para integral0^1(6x^2 + 8x^7),dx.

Passo 5

Agora fazemos a integral em x:
integral0^1(6x^2 + 8x^7),dx = [2x^3 + x^8]0^1 = 2 + 1

Resposta

3

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