Calcule

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (1 + 2x^2)^2 ,dx. O conteúdo aqui é integração de polinômios e vamos usar duas ideias principais: a expansão do binômio e a regra de potência para integrais, que diz que integral x^n ,dx = tfracx^n+1n+1 + C.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado do binômio usando a fórmula (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
(1 + 2x^2)^2 = 1^2 + 2cdot1cdot(2x^2) + (2x^2)^2 = 1 + 4x^2 + 4x^4

Passo 3

Agora a integral fica mais simples, pois podemos integrar termo a termo:
integral (1 + 4x^2 + 4x^4) ,dx = integral 1 ,dx + integral 4x^2 ,dx + integral 4x^4 ,dx

Passo 4

Aplicando a regra de potência em cada parcela:
  • integral 1 ,dx = x + C1;
  • integral 4x^2 ,dx = 4 cdot x^33 = 43x^3 + C2;
  • integral 4x^4 ,dx = 4 cdot x^55 = 45x^5 + C3.
    Somando tudo (e absorvendo as constantes C1,C2,C3 numa só constante geral C) obtemos:
x + 43x^3 + 45x^5 + C

Resposta

x + tfrac43x^3 + tfrac45x^5 + C

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