Mostre
log a b log b c=log a c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para bases positivas diferentes de 1 vale a relação loga b cdot logb c = loga c. O conteúdo aqui é definição de logaritmo e mudança de base.

Passo 2

Vamos usar a definição de logaritmo: seja x = loga b. Isso significa, por definição, que a^x = b.
De modo análogo, defina y = logb c. Pela definição de logaritmo, temos b^y = c.

Passo 3

Agora, como b = a^x, substituímos em b^y = c para obtermos c = (a^x)^y. Pela propriedade de potência de potência, isso dá
c = a^x y
Aplicando loga em ambos os lados, fica
loga c = logal(a^xyr) = xy

Passo 4

Como definimos x = loga b e y = logb c, concluímos que
loga c = l(loga br) cdot l(logb cr)

Resposta

loga b cdot logb c = loga c

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