Discuta as seguintes soluções para a seguinte questão: “Considere a função
. Decida se
é derivável em
e, em caso afirmativo, calcule
. Justifique suas afirmações.”
Solução 1:
, pois
.
Solução 2: Como a função
não é derivável em
, não é possível usar a regra do produto para derivar
em
. Logo
não é derivável em
.
Solução 3: Temos
, onde
e
. Assim,
; como
e
então
.
Solução 4: Temos
. Logo
e
Portanto
, ou seja
.
Solução 2: Como a função
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é derivável em
e, em caso afirmativo, calcular
. Para isso vamos usar a definição de derivada por limite e a representação por partes de
.
Passo 2
Vamos reescrever
como função por partes usando
Então
Passo 3
Calculamos a derivada lateral à direita em
:
Passo 4
Calculamos a derivada lateral à esquerda em
:
Passo 5
Como ambos os limites laterais coincidem (igual a 0), concluímos que
é derivável em
e que
Passo 6
Discussão das soluções apresentadas:
– Solução 1 afirma apenas que porque
. Isso não usa a definição de derivada e ignora as taxas de variação; o argumento é inválido.
– Solução 2 recusa a derivabilidade de alegando que
não é derivável em 0 e, portanto, não se pode aplicar regra do produto. Essa conclusão está errada: embora
não seja derivável, o produto específico gera uma função que é derivável em 0.
– Solução 3 tenta usar diretamente a regra do produto para e
. Como
não é derivável em 0, essa aplicação é inválida, mesmo que o resultado numérico coincida.
– Solução 4 usa corretamente a definição de derivada por limite lateral (passo a passo) e chega a . É a única justificativa adequada.
– Solução 1 afirma apenas que
– Solução 2 recusa a derivabilidade de
– Solução 3 tenta usar diretamente a regra do produto para
– Solução 4 usa corretamente a definição de derivada por limite lateral (passo a passo) e chega a
Resposta
A função
é derivável em
e
. A única justificativa correta entre as apresentadas é a Solução 4.