Discuta as seguintes soluções para a seguinte questão: “Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcule f^prime(0). Justifique suas afirmações.”
Solução 1: f^prime(0)=0, pois f(0)=0.
Solução 2: Como a função g(x)=|x| não é derivável em x=0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em x=0. Logo f não é derivável em x=0.
Solução 3: Temos f(x)=h(x) g(x), onde h(x)=x e g(x)=|x|. Assim, f^prime(0)=h^prime(0) g(0)+h(0) g^prime(0); como g(0)=0 e h(0)=0 então f^prime(0)=0.
Solução 4: Temos -x^2, & se x<0 x^2, & se x >= 0. Logo
lim x 0^+ f(x)-f(0)x-0 lim x 0^+ x^2-0x-0=lim x 0^+ x=0,
e
lim x 0^- f(x)-f(0)x-0=lim x 0^- -x^2-0x-0=lim x 0^--x=0
Portanto lim x 0 f(x)-f(0)x-0=0, ou seja f^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função f(x)=x|x| é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcular f'(0). Para isso vamos usar a definição de derivada por limite e a representação por partes de |x|.

Passo 2

Vamos reescrever f como função por partes usando
|x|=x,&x>=0,-x,&x<0,
Então
f(x)=x|x|=x^2,&x>=0,-x^2,&x<0

Passo 3

Calculamos a derivada lateral à direita em 0:
limxto0^+f(x)-f(0)x-0=limxto0^+x^2-0x=limxto0^+x=0

Passo 4

Calculamos a derivada lateral à esquerda em 0:
limxto0^-f(x)-f(0)x-0=limxto0^--x^2-0x=limxto0^-(-x)=0

Passo 5

Como ambos os limites laterais coincidem (igual a 0), concluímos que f é derivável em 0 e que
f'(0)=0

Passo 6

Discussão das soluções apresentadas:
– Solução 1 afirma apenas que f'(0)=0 porque f(0)=0. Isso não usa a definição de derivada e ignora as taxas de variação; o argumento é inválido.
– Solução 2 recusa a derivabilidade de f alegando que |x| não é derivável em 0 e, portanto, não se pode aplicar regra do produto. Essa conclusão está errada: embora |x| não seja derivável, o produto específico gera uma função que é derivável em 0.
– Solução 3 tenta usar diretamente a regra do produto para h(x)=x e g(x)=|x|. Como g não é derivável em 0, essa aplicação é inválida, mesmo que o resultado numérico coincida.
– Solução 4 usa corretamente a definição de derivada por limite lateral (passo a passo) e chega a f'(0)=0. É a única justificativa adequada.

Resposta

A função f(x)=x|x| é derivável em x=0 e f'(0)=0. A única justificativa correta entre as apresentadas é a Solução 4.

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