CALCULE:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raizx,(1 + x^2),dx. O conteúdo aqui é integração de potências, e vamos usar a regra que diz: integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, desde que n neq -1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos raizx como x^1/2 e distribuímos pelo parênteses para separar em duas parcelas:
raizx,(1 + x^2) = x^1/2 + x^1/2 cdot x^2 = x^1/2 + x^5/2

Passo 3

Agora, podemos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência:
  • Para integral x^1/2,dx, temos n = tfrac12, então
integral x^1/2,dx = x^1/2 + 11/2 + 1 = x^3/23/2 = 23x^3/2
  • Para integral x^5/2,dx, temos n = tfrac52, então
integral x^5/2,dx = x^5/2 + 15/2 + 1 = x^7/27/2 = 27x^7/2

Passo 4

Somando as duas integrais e adicionando a constante +C, obtemos o resultado final.

Resposta

integral raizx,(1 + x^2),dx = 23x^3/2 + 27x^7/2 + C.

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