Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
integral cos x cos 2 x cos 3 x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral cos x,cos 2x,cos 3x,dx e depois confirmar o resultado pela diferenciação. Vamos usar identidades trigonométricas de produto-para-soma para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a fórmula de produto para soma
cos A,cos B = tfrac12l[cos(A+B) + cos(A-B)r]
aplicando a A = x e B = 3x:
cos xcos 3x = tfrac12l[cos 4x + cos 2xr]
Então
cos xcos 2xcos 3x = tfrac12l[cos 4x + cos 2xr]cos 2x = tfrac12l[cos4xcos2x + cos^2 2xr]

Passo 3

Agora aplicamos de novo produto-para-soma em cos4xcos2x e usamos cos^2 2x = tfrac12[1+cos4x]:
cos4xcos2x = tfrac12[cos6x + cos2x], cos^2 2x = tfrac12[1 + cos4x]
Logo,
cos xcos2xcos3x=tfrac12l[tfrac12(cos6x+cos2x)+tfrac12(1+cos4x)r] =tfrac14l[1+cos2x+cos4x+cos6xr]

Passo 4

Fazendo a integral termo a termo:
integralcos xcos2xcos3x,dx =integral tfrac14,dx + integral tfrac14cos2x,dx + integral tfrac14cos4x,dx + integral tfrac14cos6x,dx
Isso dá
tfrac14 x + tfrac14cdottfracsin2x2 + tfrac14cdottfracsin4x4 + tfrac14cdottfracsin6x6 + C

Passo 5

Simplificando os coeficientes obtemos a antiderivada
x4 + sin2x8 + sin4x16 + sin6x24 + C

Passo 6

Para verificar, derivamos:
ddxl(x4 + sin2x8 + sin4x16 + sin6x24r) =14 + cos2x4 + cos4x4 + cos6x4 =1+cos2x+cos4x+cos6x4 =cos xcos2xcos3x,
confirmando que a nossa integral está correta.

Resposta

x4 + sin2x8 + sin4x16 + sin6x24 + C

Exercícios relacionados