Calcule as integrais indefinidas e verifique se está correto por diferenciação:
integral 1x^2 raiz1+x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral 1x^2raiz1+x^2,dx. O conteúdo envolve integração de funções com potências e raízes, e vamos precisar reconhecer derivadas de quocientes para encontrar uma primitiva.

Passo 2

Para achar a antiderivada, tentamos ver se o integrando aparece como derivada de alguma expressão simples. Uma boa aposta é testar f(x)=raiz1+x^2x. Vamos calcular f'(x).
Reescrevendo f(x)=(1+x^2)^1/2cdot x^-1, aplicamos a regra do produto:
f'(x)=ddx[(1+x^2)^1/2]cdot x^-1+(1+x^2)^1/2cdotddx[x^-1]
Sabendo que
ddx[(1+x^2)^1/2]=xraiz1+x^2,ddx[x^-1]=-x^-2,
substituímos abaixo.

Passo 3

Fazendo a substituição, obtemos
f'(x)=xraiz1+x^2cdot1x-raiz1+x^2x^2=1raiz1+x^2-raiz1+x^2x^2
Colocando em um único denominador,
f'(x)=x^2-(1+x^2)x^2raiz1+x^2=-1x^2raiz1+x^2

Passo 4

Vimos que 1x^2raiz1+x^2=-f'(x). Logo, a integral é
integral 1x^2raiz1+x^2,dx=-f(x)+C=-raiz1+x^2x+C

Passo 5

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl(-raiz1+x^2xr)=-f'(x)=1x^2raiz1+x^2,
o que confirma que está correto.

Resposta

-raiz1+x^2x+C

Exercícios relacionados