CALCULE:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo é integração de raiz de expressão quadrática; vamos precisar completar o quadrado e usar a fórmula de
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o que está dentro da raiz:
. A integral fica
Passo 3
Agora completamos o quadrado em
. Fatorando 3:
Passo 4
Isso nos permite escrever
Passo 5
Fazendo a substituição
, logo
, a integral vira
Passo 6
Usamos a fórmula conhecida:
Passo 7
Aqui
. Aplicando, obtemos:
Passo 8
Finalmente, voltamos a
com
e simplificamos os coeficientes. Isso leva a:
Resposta
$$\frac{\sqrt3}{2}\bigl(x+\tfrac23\bigr)\sqrt{\bigl(x+\tfrac23\bigr)^2 + \tfrac59}
- \frac{5\sqrt3}{18}\ln\Bigl(x+\tfrac23 + \sqrt{\bigl(x+\tfrac23\bigr)^2 + \tfrac59}\Bigr) + C$$