CALCULE:

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raiz4x + 3,(x^2+1),dx. O conteúdo é integração de raiz de expressão quadrática; vamos precisar completar o quadrado e usar a fórmula de integral raizu^2+a^2,du.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o que está dentro da raiz: 4x + 3(x^2+1) = 3x^2 + 4x + 3. A integral fica

Passo 3

Agora completamos o quadrado em 3x^2 + 4x + 3. Fatorando 3:
3x^2 + 4x + 3 = 3l(x^2 + tfrac43xr) + 3 = 3l[(x + tfrac23)^2 - tfrac49r] + 3 = 3(x + tfrac23)^2 + tfrac53

Passo 4

Isso nos permite escrever
raiz3x^2 + 4x + 3 = raiz3l[(x+tfrac23)^2 + tfrac59r] = raiz3,raiz(x+tfrac23)^2 + tfrac59

Passo 5

Fazendo a substituição u = x + tfrac23, logo du = dx, a integral vira
raiz3 integral raizu^2 + tfrac59,du

Passo 6

Usamos a fórmula conhecida:
integral raizu^2 + a^2,du = u2raizu^2 + a^2 + a^22 lnl(u + raizu^2 + a^2r) + C

Passo 7

Aqui a^2 = tfrac59. Aplicando, obtemos:
raiz3l[u2raizu^2 + tfrac59 + tfrac592 lnl(u + raizu^2 + tfrac59r)r] + C

Passo 8

Finalmente, voltamos a x com u = x + tfrac23 e simplificamos os coeficientes. Isso leva a:
raiz32l(x+tfrac23r)raizl(x+tfrac23r)^2 + tfrac59 + 5raiz318lnl(x+tfrac23 + raizl(x+tfrac23r)^2 + tfrac59r) + C

Resposta

$$\frac{\sqrt3}{2}\bigl(x+\tfrac23\bigr)\sqrt{\bigl(x+\tfrac23\bigr)^2 + \tfrac59}
  • \frac{5\sqrt3}{18}\ln\Bigl(x+\tfrac23 + \sqrt{\bigl(x+\tfrac23\bigr)^2 + \tfrac59}\Bigr) + C$$

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