As questões 2. a 5. são referentes aos polinômios f(x)=x^3+1, g(x)=x^10 e h(x)=x^4+x^2+1.
Considere as afirmativas a seguir.
a) i.
b) ii.
c) nenhuma
d) iii.
e) NDA
i) 1 / f(x) é diferenciável em qualquer ponto.
ii) 1 / g(x) é diferenciável em qualquer ponto.
iii) 1 / h(x) é diferenciável em qualquer ponto.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os polinômios f(x)=x^3+1, g(x)=x^10 e h(x)=x^4+x^2+1 e precisamos ver em quais pontos as funções 1/f(x), 1/g(x) e 1/h(x) são diferenciáveis.
Para uma função recíproca 1/p(x), o ponto em que p(x)=0 é problema, pois lá a função não está nem definida, logo não é diferenciável. Então vamos checar onde cada polinômio zera.

Passo 2

Analisando f(x)=x^3+1: a equação x^3+1=0 tem solução real x=-1. Logo 1/f(x) não existe (e não é diferenciável) em x=-1. A afirmativa i) é falsa.

Passo 3

Para g(x)=x^10: temos x^10=0 somente em x=0. Assim 1/g(x) não existe em x=0 e não é diferenciável lá. A afirmativa ii) é falsa.

Passo 4

No caso de h(x)=x^4+x^2+1, fazemos y=x^2 e analisamos y^2+y+1=0. O discriminante é 1-4<0, então não há raízes reais. Logo h(x) nunca é zero em R, e 1/h(x) é diferenciável em todo ponto.

Passo 5

Como apenas a afirmativa iii) é verdadeira, a alternativa correta é d) iii.

Resposta

d) iii.

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