Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
senh x=e^x-e^-x2 cosh x=e^x+e^-x2
(a) Verifique a identidade fundamental:
cosh ^2 x-senh^2 x=1
(b) Verifique as propriedades senh(a+b)=senh a cosh b+cosh a senh b e cosh (a+b)= cosh a cosh b+senh a senh b.
© senh é função par ou ímpar? cosh é função par ou ímpar?.
(d) Verifique que cosh ^prime x=senh x e senh^prime x=cosh x.
(e) Comparando com as funções trigonométricas, defina a tangente hiberbólica tanh adequadamente, e calcule a sua derivada.

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com as funções hiperbólicas definidas por sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2. Precisamos: (a) verificar a identidade fundamental cosh^2x-sinh^2x=1; (b) provar as fórmulas de soma sinh(a+b) e cosh(a+b); © determinar a paridade de sinh e cosh; (d) calcular as derivadas cosh' x e sinh' x; (e) definir tanh x e obter sua derivada. Usaremos manipulação de exponenciais e regras de derivação.

Passo 2

Verificamos a identidade fundamental começando de suas definições:
cosh^2x-sinh^2x=(e^x+e^-x2)^2-(e^x-e^-x2)^2
Expandindo numeradores:
e^2x+2+e^-2x-(e^2x-2+e^-2x)4 = 44=1

Passo 3

Para as fórmulas de soma, usamos definições e identidades auxiliares:
sinh(a+b)=e^a+b-e^-(a+b)2=e^ae^b-e^-ae^-b2

Passo 4

Reescrevemos o numerador usando
e^a+b-e^-(a+b)=(e^a-e^-a)(e^b+e^-b)+(e^a+e^-a)(e^b-e^-b)2=2sinh acosh b+2cosh asinh b,
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sinh(a+b)=sinh acosh b+cosh asinh b
De modo análogo,
cosh(a+b)=e^a+b+e^-(a+b)2=cosh acosh b+sinh asinh b

Passo 5

Para a paridade calculamos
sinh(-x)=e^-x-e^x2=-sinh x,cosh(-x)=e^-x+e^x2=cosh x,
portanto sinh é ímpar e cosh é par.

Passo 6

Para as derivadas usamos regras de derivação de exponenciais:
ddxsinh x=e^x+e^-x2=cosh x,ddxcosh x=e^x-e^-x2=sinh x

Passo 7

Definimos então a tangente hiperbólica como
tanh x=sinh xcosh x

Passo 8

Usando a regra do quociente e a identidade fundamental, obtemos
ddxtanh x=cosh^2x-sinh^2xcosh^2x=1cosh^2x=1-tanh^2x

Resposta

(a) cosh^2x-sinh^2x=1 (b) sinh(a+b)=sinh acosh b+cosh asinh b e cosh(a+b)=cosh acosh b+sinh asinh b © sinh é ímpar e cosh é par. (d) sinh' x=cosh x e cosh' x=sinh x (e) tanh x=sinh xcosh x e tanh' x=1/cosh^2x=1-tanh^2x

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