Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
(a) Verifique a identidade fundamental:
(b) Verifique as propriedades
e
.
© senh é função par ou ímpar? cosh é função par ou ímpar?.
(d) Verifique que
e
.
(e) Comparando com as funções trigonométricas, defina a tangente hiberbólica tanh adequadamente, e calcule a sua derivada.
© senh é função par ou ímpar? cosh é função par ou ímpar?.
(d) Verifique que
(e) Comparando com as funções trigonométricas, defina a tangente hiberbólica tanh adequadamente, e calcule a sua derivada.
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar com as funções hiperbólicas definidas por
e
. Precisamos: (a) verificar a identidade fundamental
; (b) provar as fórmulas de soma
e
; © determinar a paridade de
e
; (d) calcular as derivadas
e
; (e) definir
e obter sua derivada. Usaremos manipulação de exponenciais e regras de derivação.
Passo 2
Verificamos a identidade fundamental começando de suas definições:
Expandindo numeradores:
Passo 3
Para as fórmulas de soma, usamos definições e identidades auxiliares:
Passo 4
Reescrevemos o numerador usando
logo
De modo análogo,
Passo 5
Para a paridade calculamos
portanto
Passo 6
Para as derivadas usamos regras de derivação de exponenciais:
Passo 7
Definimos então a tangente hiperbólica como
Passo 8
Usando a regra do quociente e a identidade fundamental, obtemos
Resposta
(a)
(b)
e
©
é ímpar e
é par. (d)
e
(e)
e