Questão 16: Determinar os pontos de máximo e de mínimo da função
sobre a elipse
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Passo 1
A função dada é f(x,y)=e{x{2}+y^{2}}, e o domínio de estudo é a elipse 2x{2}+y{2}=1. O conteúdo aqui é otimização de funções sujeitas a restrições, usando, por exemplo, multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar do conceito de que e^{t} é uma função monótona crescente em t, o que nos sugere maximizar e minimizar x{2}+y{2} sob a elipse.
Passo 2
Para facilitar, definimos v(x,y)=x{2}+y{2}. Como e^{v} cresce com v, buscar extremos de f é equivalente a buscar extremos de v sob a condição g(x,y)=2x{2}+y{2}-1=0.
Passo 3
Aplicamos multiplicadores de Lagrange: ∇v=(2x,2y) e ∇g=(4x,2y). De ∇v=λ∇g vem
Passo 4
Desse sistema, ou x=0 ou λ=1/2; e ou y=0 ou λ=1. Não há solução com x≠0 e y≠0 simultaneamente (pois exigiría λ=1 e λ=1/2). Logo consideramos casos:
Caso x=0: da elipse 2·0{2}+y{2}=1 segue y=±1. Assim v=0+y^{2}=1.
Caso x=0: da elipse 2·0{2}+y{2}=1 segue y=±1. Assim v=0+y^{2}=1.
Passo 5
Caso y=0: da elipse 2x^{2}+0=1 vem x=±1/√2. Assim v=x^{2}+0=1/2.
Passo 6
Os pontos críticos são (0,1),(0,-1),(1/√2,0) e (-1/√2,0). Avaliando f=neles: para v=1 temos f=e^{1}=e; para v=1/2 temos f=e^{1/2}=√e.
Passo 7
Como e>√e, os pontos de máximo são (0,1) e (0,-1) com f(0,±1)=e, e os pontos de mínimo são (±1/√2,0) com f(±1/√2,0)=√e.
Resposta
Máximos em (0,1) e (0,-1) com valor f=e; mínimos em (1/\sqrt{2},0) e (-1/\sqrt{2},0) com valor f=\sqrt{e}.