Calcule.
lim x 0 sin (x^2+1x)-sin 1xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sinl(x^2+tfrac1xr)-sinl(tfrac1xr)x
Este é um limite que envolve diferença de funções senoidais com argumentos próximos e divisão por xto0. Vamos usar a identidade trigonométrica de diferença de senos e o limite clássico sin t/tto1.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(alpha)-sin(beta) =2cos!l(alpha+beta2r),sin!l(alpha-beta2r)
com alpha=x^2+tfrac1x e beta=tfrac1x. Então o numerador vira
2cos!l(x^2+tfrac1x+tfrac1x2r), sin!l(x^2+tfrac1x-tfrac1x2r) =2cos!l(tfrac1x+tfracx^22r),sin!l(tfracx^22r)
Dividindo por x, a expressão é
sin(x^2+tfrac1x)-sin(tfrac1x)x =2cos!l(tfrac1x+tfracx^22r), sin(tfracx^22)x

Passo 3

Reescrevemos
sin(tfracx^22)x =sin(tfracx^22)tfracx^22;x2
Como xto0, o parâmetro tfracx^22to0 e vale
sin(tfracx^22)/(tfracx^22)to1. Logo
sin(x^2+tfrac1x)-sin(tfrac1x)x ;longrightarrow; 2cos!l(tfrac1x+tfracx^22r);x2 =xcos!l(tfrac1x+tfracx^22r)

Passo 4

Como cosl(tfrac1x+tfracx^22r) fica sempre entre -1 e 1, temos
l|xcos(cdots)r|<=|x|
e portanto, pelo Teorema do Confronto (squeeze),
xcos!l(tfrac1x+tfracx^22r);xrightarrow[xto0];0

Resposta

0

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