Calcule a integral de linha integralC(9 x-raizy+4) d s em que a curva C é dada pela parábola y=x^2-4 do ponto (0,-4) ao ponto (1,-3). Resposta: 23(5 raiz5-1)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos integralCl(9x-raizy+4r),ds ao longo da parábola
y = x^2 - 4
do ponto (0,-4) ao ponto (1,-3).
O conteúdo principal é integral de linha de função escalar, e vamos precisar parametrizar a curva, usar
,ds = raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt
e depois resolver a integral resultante por substituição.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = l(x(t),,y(t)r) = l(t,,t^2 - 4r),
com t variando de 0 a 1.
Dessa forma,
x'(t) = 1, y'(t) = 2t

Passo 3

O elemento de comprimento de arco é
ds = raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt = raiz1 + (2t)^2,dt = raiz1 + 4t^2,dt

Passo 4

Substituímos no integrando:
9x - raizy+4 = 9t - raiz(t^2 - 4) + 4 = 9t - raizt^2 = 9t - t,
pois t>=0 em [0,1]. Logo o integrando simplifica para 8t.

Passo 5

A integral de linha torna-se
integral0^1 (8t),raiz1+4t^2,dt = 8 integral0^1 t,raiz1+4t^2,dt

Passo 6

Para resolver usamos a substituição
u = 1 + 4t^2, du = 8t,dt
Isso transforma a integral em
8 integral0^1 t,raiz1+4t^2,dt = integralu(0)=1^u(1)=5 u^1/2,du = [23,u^3/2]1^5 = 23l(5^3/2 - 1^3/2r) = 23l(5raiz5 - 1r)

Resposta

23l(5raiz5 - 1r)

Exercícios relacionados