Questão 1. Calcule cada uma das seguintes integrais:
(Valor 5.25 pts)
integral e^x+e^2 x2 raize^2 x-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^x+e^2x2raize^2x-1,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos usar a substituição que simplifica o radical raize^2x-1. Também precisaremos das fórmulas de
integral uraizu^2-1,du e integral 1raizu^2-1,du.

Passo 2

Defina u=e^x. Então
du = e^x,dx, e^2x=u^2, dx=duu, raize^2x-1=raizu^2-1
Substituindo no integrando:
e^x+e^2x2raize^2x-1,dx = u+u^22raizu^2-1cdotduu = 1+u2raizu^2-1,du

Passo 3

Separe a integral em duas parcelas:
integral 1+u2raizu^2-1,du = 12integral 1raizu^2-1,du + 12integral uraizu^2-1,du

Passo 4

Use as fórmulas conhecidas:
integral uraizu^2-1,du = raizu^2-1, integral 1raizu^2-1,du = lnl(u+raizu^2-1r)
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12integral 1+uraizu^2-1,du = 12raizu^2-1 + 12lnl(u+raizu^2-1r) + C

Passo 5

Volte à variável x com u=e^x. Então
raizu^2-1=raize^2x-1, lnl(u+raizu^2-1r) = lnl(e^x+raize^2x-1r)

Resposta

12raize^2x-1 + 12lnl(e^x+raize^2x-1r)
+C

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