(0,5 pt) Utilize 0 método das aproximações sucessivas para resolver o P.V.I.:
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer resolver o problema
Conteúdo da matéria: EDO’s (equações diferenciais ordinárias) e o método das aproximações sucessivas (ou método de Picard).
O que vamos precisar:
· A fórmula de Picard para gerar uma sequência dada por
O que vamos precisar:
· A fórmula de Picard para gerar uma sequência
· Saber integrar polinômios e, depois, se precisar, resolver a EDO por separação de variáveis.
Passo 2
Definindo a sequência de Picard:
- Começamos com
- Agora calculamos
Passo 3
Vamos ao segundo passo efetivo de aproximação,
:
Expandindo
e integrando:
Então
Passo 4
Em geral os
são polinômios que, conforme
cresce, aproximam melhor a solução. O limite
satisfaz a integral
Se a gente diferenciar isso, volta à EDO original. Para achar
em forma fechada, usamos separação de variáveis:
Impondo
dá
, então
Passo 5
O teorema de Picard garante que, num intervalo em que tudo converge (aqui
), a sequência
chega na solução única do P.V.I. E a gente encontrou que essa solução é