(0,5 pt) Utilize 0 método das aproximações sucessivas para resolver o P.V.I.:
l y^prime=2 y^2 y(0)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer resolver o problema
y' = 2,y^2, y(0)=1
Conteúdo da matéria: EDO’s (equações diferenciais ordinárias) e o método das aproximações sucessivas (ou método de Picard).
O que vamos precisar:
· A fórmula de Picard para gerar uma sequência y0,y1,y2,dots dada por
yn+1(t);=;y(0);+;integral0^tfl(s,yn(s)r),ds com f(t,y)=2y^2
· Saber integrar polinômios e, depois, se precisar, resolver a EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Definindo a sequência de Picard:
  1. Começamos com
y0(t)=1
  1. Agora calculamos
y1(t) =1+integral0^t2l[y0(s)r]^2,ds =1+integral0^t2cdot1^2,ds =1+2t

Passo 3

Vamos ao segundo passo efetivo de aproximação, y2:
y2(t) =1+integral0^t2l[y1(s)r]^2,ds =1+2integral0^t(1+2s)^2,ds
Expandindo (1+2s)^2 = 1+4s+4s^2 e integrando:
integral0^t(1+4s+4s^2),ds =l[s+2s^2+tfrac43s^3r]0^t =t+2t^2+tfrac43t^3
Então
y2(t) =1+2l(t+2t^2+tfrac43t^3r) =1+2t+4t^2+tfrac83t^3

Passo 4

Em geral os yn são polinômios que, conforme n cresce, aproximam melhor a solução. O limite y(t)=limntoinftyyn(t) satisfaz a integral
y(t)=1+integral0^t2l[y(s)r]^2,ds
Se a gente diferenciar isso, volta à EDO original. Para achar y(t) em forma fechada, usamos separação de variáveis:
dydt=2y^2 ;Longrightarrow; dyy^2=2,dt ;Longrightarrow; -1y=2t+C
Impondo y(0)=1 C=-1, então
-1y=2t-1 ;Longrightarrow; 1y=1-2t ;Longrightarrow; y(t)=11-2t

Passo 5

O teorema de Picard garante que, num intervalo em que tudo converge (aqui |t|<tfrac12), a sequência yn chega na solução única do P.V.I. E a gente encontrou que essa solução é
y(t)=11-2t

Resposta

boxedy(t)=11-2t, |t|<tfrac12

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