Calcule.
lim x 0 x sin 1xsin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0xsinl(tfrac1xr)sin x
O conteúdo envolvido é limite de funções com fator oscilante e aplicação do limite de tfracxsin x quando xto0.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como produto de duas partes:
xsinl(tfrac1xr)sin x =xsin x;sinl(tfrac1xr)

Passo 3

Sabemos que
limxto0xsin x=1,
pois sin xsim x quando xto0. Já sinl(tfrac1xr) oscila entre -1 e 1 sem ter limite quando xto0.

Passo 4

Para ver que não há limite único, considere as sequências
xn = 1pi2+2pi n e yn = 13pi2+2pi n
Nelas temos
sinl(tfrac1xnr)=1 e sinl(tfrac1ynr)=-1, enquanto tfracxnsin xnto1 e tfracynsin ynto1. Logo a fração tende a 1 ao longo de (xn) e a -1 ao longo de (yn), mostrando que não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe.

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