Calcule .

Passo 1

O enunciado pede limxto a(x^n - a^n)cos1x-a. O conteúdo aqui é analisar o produto de uma diferença de potências que tende a zero com uma função oscilante mas limitada. Vamos usar a fatoração de x^n - a^n e, em seguida, o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Fatorando a diferença de potências temos
x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + x^n-2a + cdots + a^n-1r)
Assim
(x^n - a^n)cos1x-a = (x - a)l(x^n-1 + cdots + a^n-1r)cos1x - a
Como cos1x-a está sempre em [-1,1], vale
|(x^n - a^n)cos1x - a| <= |x - a|;l|x^n-1 + cdots + a^n-1r|
Num entorno de x=a, a soma x^n-1 + cdots + a^n-1 é limitada por alguma constante M>0. Logo
|(x^n - a^n)cos1x - a|<= M,|x - a|

Passo 3

Sabendo que limxto aM,|x - a| = 0 e que
-M|x - a|;<=;(x^n - a^n)cos1x - a;<=;M|x - a|,
pelo teorema do confronto concluímos que
limxto a(x^n - a^n)cos1x - a = 0

Resposta

0

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