Vamos usar a noção de limite para estudar taxas de crescimento de funções. Sejam f(x) e g(x) funções positivas e
lim x +infty f(x)g(x)=L>0
A depender do valor de L, podemos saber se f cresce mais rapidamente que g, e vice-versa: caso L>1, então para valores de x suficientemente grandes teremos f(x)g(x)>1 e portanto f(x)>g(x). Analogamente, se L<1, para valores de x suficientemente grande temos f(x)<g(x).
Em cada item abaixo, utilize o critério acima para decidir qual função cresce mais rapidamente quando x +infty.
f(x)=e^x, g(x)=e^x^2.

Passo 1

O enunciado pede para comparar as taxas de crescimento, quando xto+infty, das funções
f(x)=e^x
e
g(x)=e^x^2
usando o critério do limite
L=limxto+inftyf(x)g(x)

Passo 2

Calculamos o limite da razão:
f(x)g(x) =e^xe^x^2 =e^,x - x^2 =e^-,l(x^2 - xr)
Como x^2-xto+infty quando xto+infty, o expoente -l(x^2-xr)to -infty e, portanto,
L=limxto+inftye^-,l(x^2 - xr)=0

Passo 3

Vendo que L=0<1, concluímos que, para x suficientemente grande,
f(x)g(x)<1 Longrightarrow f(x)<g(x)
Isto significa que g(x) cresce mais rapidamente que f(x) quando xto+infty.

Resposta

A função g(x)=e^x^2 cresce mais rapidamente que f(x)=e^x conforme xto+infty.

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