n^13 equiv n bmod p, para p=2,3,5,7 e 13 , e para todo n in Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para cada primo pin2,3,5,7,13 e para todo inteiro n, vale
n^13equiv npmod p
O conteúdo principal é teoria de congruências e, em particular, o Teorema de Fermat (ou Teorema de Fermat–Euler para primos), que diz que se p é primo e gcd(n,p)=1 então
n^p-1equiv 1pmod p

Passo 2

Primeiro, suponha que p divida n. Então nequiv 0pmod p, de modo que
n^13equiv 0^13=0equiv npmod p
Logo a congruência é óbvia nesse caso.

Passo 3

Agora suponha que gcd(n,p)=1. Pelo Teorema de Fermat temos
n^p-1equiv 1pmod p

Passo 4

Observe que, para cada pin2,3,5,7,13, o número p-1 divide 12:
2-1=1,;3-1=2,;5-1=4,;7-1=6,;13-1=12,
e todos esses valores dividem 12. Escrevamos 12=k,(p-1) para algum inteiro k. Então
n^12 = l(n^p-1r)^k equiv 1^k=1pmod p

Passo 5

Multiplicando ambos os lados de n^12equiv1 por n, obtemos
n^13 = ncdot n^12equiv ncdot 1 = npmod p
Isso completa a prova.

Resposta

Para todo pin2,3,5,7,13 e todo ninZ vale
n^13equiv npmod p

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