, para
e 13 , e para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para cada primo
e para todo inteiro
, vale
O conteúdo principal é teoria de congruências e, em particular, o Teorema de Fermat (ou Teorema de Fermat–Euler para primos), que diz que se
é primo e
então
Passo 2
Primeiro, suponha que
divida
. Então
, de modo que
Logo a congruência é óbvia nesse caso.
Passo 3
Agora suponha que
. Pelo Teorema de Fermat temos
Passo 4
Observe que, para cada
, o número
divide
:
e todos esses valores dividem
. Escrevamos
para algum inteiro
. Então
Passo 5
Multiplicando ambos os lados de
por
, obtemos
Isso completa a prova.
Resposta
Para todo
e todo
vale