S-4.19 Determine os inteiros que deixam restos 1,2 e 3 , quando divididos respectivamente por 3,4 e 5 .

Passo 1

O enunciado pede os inteiros
ou seja, um problema clássico do Teorema Chinês dos Resíduos, já que e são coprimos dois a dois.

Passo 2

Começamos pela última congruência:
xequiv3pmod5
isso quer dizer que existe um inteiro k tal que
x=5k+3

Passo 3

Substituímos x=5k+3 na segunda congruência xequiv2pmod4:
5k+3equiv2pmod4 Longrightarrow 5kequiv-1equiv3pmod4
Como 5equiv1pmod4, isso vira
kequiv3pmod4 Longrightarrow k=4m+3
para algum inteiro m. Logo
x=5(4m+3)+3=20m+15+3=20m+18

Passo 4

Agora impomos a primeira congruência xequiv1pmod3 sobre x=20m+18:
20m+18equiv1pmod3 Longrightarrow 20mequiv1-18equiv1pmod3
Como 20equiv2pmod3, obtemos
2mequiv1pmod3 Longrightarrow mequiv2pmod3 Longrightarrow m=3n+2
para algum inteiro n. Substituindo em x:
x=20(3n+2)+18=60n+40+18=60n+58

Resposta

Os inteiros que satisfazem todas as condições são exatamente
x=60n+58, ninZ,
ou seja, a solução única módulo 60 é
xequiv58pmod60

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