Calcule:
lim x 0 raizx^3+x^2 sin (pix)

Passo 1

Vamos calcular
limxto0raizx^3 + x^2sin!l(tfracpi xr)
O conteúdo é cálculo de limite envolvendo radical e função oscilante. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que a expressão tende a zero.

Passo 2

Observe o radicando
x^3 + x^2sin!l(tfracpi xr) = x^2l(x + sin!l(tfracpi xr)r)
Como ,-1<=sin(pi/x)<=1, temos
-1 + x ;<=; x + sin!l(tfracpi xr);<=;1 + x

Passo 3

Dessa desigualdade segue
x^2(-1 + x);<=;x^3 + x^2sin!l(tfracpi xr);<=;x^2(1 + x)
Mas, para escapar do problema de domínio do radical quando o lado esquerdo é negativo, vamos estimar o valor absoluto:
l|x^3 + x^2sin!l(tfracpi xr)r| <= x^2l|x + sin!l(tfracpi xr)r| <= x^2l(|x| + 1r)

Passo 4

Aplicando o radical e usando que raiz|A| = |,raiz A|, obtemos
l|raizx^3 + x^2sin(pi/x)r| =raizl|x^3 + x^2sin(pi/x)r| <= raizx^2l(|x|+1r) =|x|raiz|x|+1
Como |x|raiz|x|+1to0 quando xto0, segue por confronto que
raizx^3 + x^2sin(pi/x)to0.

Resposta

0

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