Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(d) a cdot 0=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade dos reais que diz que, para todo ainR,
acdot 0 = 0
O que vamos usar são os axiomas de corpo (anel comutativo) em R: identidade aditiva ( 0), inverso aditivo e propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Aplicamos a distributividade em
acdot(0+0) = acdot0 + acdot0
Como 0+0=0 (identidade aditiva), a igualdade vira
acdot0 = acdot0 + acdot0

Passo 3

Agora somamos o inverso aditivo de acdot0 em ambos os lados. Seja -(acdot0) o inverso aditivo de acdot0:
l(acdot0r)+l(-(acdot0)r) = l(acdot0 + acdot0r)+l(-(acdot0)r)
Pelo axioma do inverso aditivo, o lado esquerdo é 0. Pelo associativo no direito,
l(acdot0 + acdot0r)+l(-(acdot0)r) = acdot0 + l(acdot0 + -(acdot0)r) = acdot0 + 0 = acdot0

Passo 4

Concluímos que
0 = acdot0
Ou seja, para todo ainR, acdot0 é de fato 0.

Resposta

Para todo ainR, vale
acdot 0 = 0

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