Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam
quaisquer
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade dos reais que diz que, para todo
,
O que vamos usar são os axiomas de corpo (anel comutativo) em
: identidade aditiva (
), inverso aditivo e propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Aplicamos a distributividade em
Como
(identidade aditiva), a igualdade vira
Passo 3
Agora somamos o inverso aditivo de
em ambos os lados. Seja
o inverso aditivo de
:
Pelo axioma do inverso aditivo, o lado esquerdo é
. Pelo associativo no direito,
Passo 4
Concluímos que
Ou seja, para todo
,
é de fato
.
Resposta
Para todo
, vale