Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos lembrar que uma equação
é exata se
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
temos
, logo a equação é exata.
Passo 4
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função de
a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo
, e
Portanto a função potencial completa é
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.