Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(2 x y^2-3) d x+(2 x^2 y+4) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2xy^2-3),dx + (2x^2y+4),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos lembrar que uma equação M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2xy^2-3, N(x,y) = 2x^2y+4
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy^2-3) = 4xy,
partial Npartial x = partialpartial x(2x^2y+4) = 4xy

Passo 3

Como
partial Mpartial y =4xy e partial Npartial x =4xy,
temos partial M/partial y = partial N/partial x, logo a equação é exata.

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) Longrightarrow partial phipartial x = 2xy^2-3
Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral (2xy^2-3),dx = x^2y^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 5

Impondo partial phi/partial y = N(x,y), temos
partial phipartial y = 2x^2y + h'(y) stackrel!= 2x^2y +4
Logo h'(y)=4, e
h(y)=4y + C
Portanto a função potencial completa é
phi(x,y) = x^2y^2 - 3x +4y

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2y^2 ;-;3x ;+;4y = C,
onde C é constante arbitrária.

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