Ao resolver a inequação
raiz(x+1)^2+1x+12>2 x
uma pessoa apresentou a seguinte solução:
raiz(x+1)^2+1x+12 & >2 x raiz(x+1)^2+1 & >2 x(x+1 / 2) (x+1)+1 & >2 x^2+x 2 x^2-2 & <0 x^2-1 & <0 x^2 & <1 x & <1
Portanto o conjunto solução é S=x in R ; x<1.
a. [1,5] Sabe-se que a resposta está errada. Queremos verificar se há algum erro na passagem de uma linha para outra. Verifique se em (1) Rightarrow(2),(2) Rightarrow(3),(3) Rightarrow(4),(4) Rightarrow(5) e (5) Rightarrow(6) existe algum erro. Justifique sua resposta.
b. [2,5] Obtenha o conjunto solução correto desta inequação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma inequação que é:
raiz(x+1)^2+1x+12>2 x
Aqui estamos lidando com inequações que envolvem radicais e frações. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como trabalhar com expressões envolvendo raízes quadradas e também como manipular frações e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz(x+1)^2. Sabemos que raiza^2 = |a|, ou seja, o valor absoluto de a. Então:
raiz(x+1)^2 = |x+1|
Isso é importante porque o valor absoluto pode afetar nossa solução dependendo do sinal de x+1.

Passo 3

No enunciado original, a pessoa resolveu raiz(x+1)^2 como x + 1. Mas isso só é válido se x + 1 >= 0, ou seja, se x >= -1. Caso contrário, raiz(x+1)^2 = -(x + 1).
Aqui está o primeiro erro! A pessoa assumiu que x + 1 é sempre positivo, mas isso nem sempre acontece.

Passo 4

Vamos então considerar dois casos para resolver a inequação corretamente:
Caso 1: x + 1 >= 0 (ou seja, x >= -1)
Nesse caso, raiz(x+1)^2 = x + 1, então a inequação fica:
(x + 1) + 1x + 12 > 2x
Simplificando:
x + 2x + 12 > 2x
Caso 2: x + 1 < 0 (ou seja, x < -1)
Aqui, raiz(x+1)^2 = -(x + 1), então a inequação fica:
-(x + 1) + 1x + 12 > 2x
Simplificando:
-xx + 12 > 2x

Passo 5

Portanto, o erro na solução original está na suposição de que raiz(x+1)^2 = x + 1 sempre. Na verdade, precisamos considerar os dois casos acima para resolver a inequação corretamente.

Resposta

a. Sim, há um erro na passagem de raiz(x+1)^2 para x + 1 sem considerar que x + 1 pode ser negativo. Isso leva a uma solução incorreta de x < 1.
b. O conjunto solução correto da inequação é S = ( -infty, -1 ) cup ( -12, 1 ).

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