Ao resolver a inequação
uma pessoa apresentou a seguinte solução:
Portanto o conjunto solução é
.
a. [1,5] Sabe-se que a resposta está errada. Queremos verificar se há algum erro na passagem de uma linha para outra. Verifique se em
e
existe algum erro. Justifique sua resposta.
b. [2,5] Obtenha o conjunto solução correto desta inequação.
a. [1,5] Sabe-se que a resposta está errada. Queremos verificar se há algum erro na passagem de uma linha para outra. Verifique se em
b. [2,5] Obtenha o conjunto solução correto desta inequação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma inequação que é:
Aqui estamos lidando com inequações que envolvem radicais e frações. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como trabalhar com expressões envolvendo raízes quadradas e também como manipular frações e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, ou seja, o valor absoluto de
. Então:
Isso é importante porque o valor absoluto pode afetar nossa solução dependendo do sinal de
.
Passo 3
No enunciado original, a pessoa resolveu
como
. Mas isso só é válido se
, ou seja, se
. Caso contrário,
.
Aqui está o primeiro erro! A pessoa assumiu que
é sempre positivo, mas isso nem sempre acontece.
Passo 4
Vamos então considerar dois casos para resolver a inequação corretamente:
Caso 1:
(ou seja,
)
Nesse caso,
, então a inequação fica:
Simplificando:
Caso 2:
(ou seja,
)
Aqui,
, então a inequação fica:
Simplificando:
Passo 5
Portanto, o erro na solução original está na suposição de que
sempre. Na verdade, precisamos considerar os dois casos acima para resolver a inequação corretamente.
Resposta
a. Sim, há um erro na passagem de
para
sem considerar que
pode ser negativo. Isso leva a uma solução incorreta de
.
b. O conjunto solução correto da inequação é
.