Calcule integral(1,0)^(2,3)(6 x y+e^x) d x+(3 x^2+cos y) d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha integral(1,0)^(2,3)(6xy + e^x),dx + (3x^2 + cos y),dy. O conteúdo é formas diferenciais exatas e a gente vai precisar checar se essa forma é exata e achar uma função potencial.

Passo 2

Vamos definir P(x,y)=6xy + e^x e Q(x,y)=3x^2+cos y. Pra ver se é exata, calculamos partial P/partial y = 6x e partial Q/partial x = 6x. Como batem, a forma é exata.

Passo 3

Como é exata, existe f(x,y) tal que df = P,dx + Q,dy. Integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral(6xy + e^x),dx = 3x^2y + e^x + h(y)

Passo 4

Agora derivamos f em relação a y e igualamos a Q pra achar h(y):
partial fpartial y = 3x^2 + h'(y) = 3x^2 + cos y
Isso dá h'(y)=cos y, então h(y)=sin y + C. Podemos ignorar a constante.

Passo 5

Portanto a função potencial completa é f(x,y)=3x^2y + e^x + sin y. Agora avaliamos nos pontos:
f(2,3)=3cdot2^2cdot3 + e^2 + sin3, f(1,0)=3cdot1^2cdot0 + e + sin0
e a integral de linha é f(2,3)-f(1,0).

Resposta

36 + e^{2} - e + \sin3

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