4^circ ) (Axioma de Eudoxius) - Dados m e n pertencentes aos naturais com n>m, então existe q in N tal que
q m <= n<(q+1) m

Passo 1

O enunciado afirma o Axioma de Eudóxius, que é basicamente o algoritmo da divisão para naturais: dados m,ninN com n>m, queremos mostrar que existe um quociente qinN tal que
q,m <= n < (q+1),m
Para provar isso vamos usar o princípio do bom ordenamento dos naturais (todo subconjunto não vazio de N tem um menor elemento).

Passo 2

Consideremos o conjunto
A = l,kinN mid k,m > n r
Note que A não é vazio, pois se tomarmos k = n+1 então
(n+1),m ;>; n(já que m>=1), á
logo (n+1)in A.

Passo 3

Pelo bom ordenamento de N, o conjunto A tem um menor elemento; chamemos esse mínimo de q+1. Assim,
q+1 = min A,
o que significa que
(q+1),m > n
e para todo natural k < q+1 temos k,m <= n.

Passo 4

Em particular, tomando k = q, que é menor que q+1, deduzimos
q,m <= n
Juntando as duas desigualdades, obtemos exatamente
q,m <= n < (q+1),m,
provando a existência de qinN com a propriedade desejada.

Resposta

Existência de qinN tal que
q,m <= n < (q+1),m,
construído via o bom ordenamento do conjunto
,kinN:k,m>n.

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