) (Axioma de Eudoxius) - Dados
e
pertencentes aos naturais com
, então existe
tal que
Passo 1
O enunciado afirma o Axioma de Eudóxius, que é basicamente o algoritmo da divisão para naturais: dados
com
, queremos mostrar que existe um quociente
tal que
Para provar isso vamos usar o princípio do bom ordenamento dos naturais (todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento).
Passo 2
Consideremos o conjunto
Note que
não é vazio, pois se tomarmos
então
logo
.
Passo 3
Pelo bom ordenamento de
, o conjunto
tem um menor elemento; chamemos esse mínimo de
. Assim,
o que significa que
e para todo natural
temos
.
Passo 4
Em particular, tomando
, que é menor que
, deduzimos
Juntando as duas desigualdades, obtemos exatamente
provando a existência de
com a propriedade desejada.
Resposta
Existência de
tal que
construído via o bom ordenamento do conjunto
.