Considere a integral de linha integralc(y^2-x y) d x+k(x^2-4 x y) d y.
(a) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando k encontrado, encontre uma função potencial.
(c) Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de (0,0) a (1,1).
  • Respostas : (a) k=-12 ;(b) varphi(x, y)=x y^2-x^2 y2+alpha, onde alpha in R ;(c) 12

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha
integralcl(y^2-x yr),dx ;+;kl(x^2-4xyr),dy
e pede:
1. Determinar k para que a integral seja independente do caminho (o que significa que o campo de vetores l(P,Qr) é conservativo).
2. Com esse k, encontrar uma função potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=(P,Q).
3. Calcular a integral de (0,0) até (1,1) usando essa varphi.
Conteúdo: verifica-se a condição de campo conservativo em R^2 e depois constrói-se a primitiva (potencial).

Passo 2

Escrevemos
P(x,y)=y^2-xy, Q(x,y)=kl(x^2-4xyr)
O teste de independência de caminho (conservatividade) exige
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Calculamos:
partial Ppartial y=2y-x, partial Qpartial x =k,(2x-4y)
Igualando termos em x e y para todos (x,y), temos
2y - x = k,(2x-4y)
Comparando coeficientes de x: -1=2k Rightarrow k=-tfrac12. Conferindo em y: 2=-4k Rightarrow k=-tfrac12.

Passo 3

Com k=-tfrac12, o campo é conservativo. Buscamos varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x=P=y^2-xy, partial varphipartial y=Q=-tfrac12,(x^2-4xy)=2xy-tfracx^22
Integramos partialvarphi/partial x em relação a x:
varphi(x,y) =integrall(y^2-xyr),dx =xy^2-x^2y2+h(y),
onde h(y) é função só de y.
Agora impomos
partial varphipartial y =2xy-x^22+h'(y) stackrel!=2xy-x^22
Logo h'(y)=0, ou seja h(y)=alpha (constante).
Portanto
varphi(x,y)=xy^2-x^2y2+alpha

Passo 4

Para calcular a integral de linha de (0,0) a (1,1) basta
varphi(1,1)-varphi(0,0) =l(1cdot1^2-tfrac1^2cdot12+alphar) -l(0+alphar) =1-tfrac12 =tfrac12

Resposta

(a) k=-tfrac12
(b) varphi(x,y)=xy^2-tfracx^2y2+alpha, com alphainR
(c) tfrac12

Exercícios relacionados