Considere a integral de linha
.
(a) Determine a constante
para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando
encontrado, encontre uma função potencial.
(c) Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de
a
.
- Respostas :
, onde
(a) Determine a constante
(b) Utilizando
(c) Com a função potencial encontrada, calcule a integral percorrendo de
Passo 1
O enunciado nos dá a integral de linha
e pede:
. Determinar
para que a integral seja independente do caminho (o que significa que o campo de vetores
é conservativo).
. Com esse
, encontrar uma função potencial
tal que
.
. Calcular a integral de
até
usando essa
.
Conteúdo: verifica-se a condição de campo conservativo em
e depois constrói-se a primitiva (potencial).
Passo 2
Escrevemos
O teste de independência de caminho (conservatividade) exige
Calculamos:
Igualando termos em
e
para todos
, temos
Comparando coeficientes de
:
. Conferindo em
:
.
Passo 3
Com
, o campo é conservativo. Buscamos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função só de
.
Agora impomos
Agora impomos
Logo
, ou seja
(constante).
Portanto
Portanto
Passo 4
Para calcular a integral de linha de
a
basta
Resposta
(a)
(b) , com
(c)
(b)
(c)