Resolva o problema de valor inicial dado.
(y^{1 / 2} \frac{d y}{d x}+y^{3 / 2}=1, \quad y(0)=4)

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^1/2,dydx + y^3/2 = 1, y(0)=4
O conteúdo aqui é equação diferencial separável. Vamos isolar dy/dx, separar variáveis e integrar para encontrar y(x).

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de dy/dx:
dydx = 1 - y^3/2y^1/2 = y^-1/2,l(1 - y^3/2r)
Agora separam-se as variáveis y e x:
y^1/21 - y^3/2,dy = dx

Passo 3

Para integrar integral y^1/21 - y^3/2,dy, faça a substituição
t = y^3/2 Longrightarrow dt = tfrac32,y^1/2,dy Longrightarrow y^1/2,dy = tfrac23,dt
Então
integral y^1/21 - y^3/2,dy = integral tfrac23,dt1 - t = -23integral dtt - 1 = -23lnl|t - 1r| + C
Voltando a y:
-23lnl|y^3/2 - 1r| = x + C

Passo 4

Multiplique por -tfrac32 e exponencie para isolar y^3/2:
lnl|y^3/2-1r| = -tfrac32x + C' Longrightarrow y^3/2 - 1 = K,e^-3x/2,
onde K = e^C'. Logo
y^3/2 = 1 + K,e^-3x/2,
e portanto
y(x) = l(1 + K,e^-3x/2r)^2/3

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=4:
4^3/2 = 8 = 1 + KLongrightarrow K = 7
Assim a solução que satisfaz y(0)=4 é
y(x) = l(1 + 7,e^-3x/2r)^2/3

Resposta

y(x) = l(1 + 7,e^-3x/2r)^2/3

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