Resolva o problema de valor inicial dado.
(y^{1 / 2} \frac{d y}{d x}+y^{3 / 2}=1, \quad y(0)=4)
(y^{1 / 2} \frac{d y}{d x}+y^{3 / 2}=1, \quad y(0)=4)
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O conteúdo aqui é equação diferencial separável. Vamos isolar
, separar variáveis e integrar para encontrar
.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita de
:
Agora separam-se as variáveis
e
:
Passo 3
Para integrar
, faça a substituição
Então
Voltando a
y :
Passo 4
Multiplique por
-tfrac32 e exponencie para isolar
y^3/2 :
onde
K = e^C' . Logo
e portanto
Passo 5
Use a condição inicial
y(0)=4 :
Assim a solução que satisfaz
y(0)=4 é