Calcule:
lim x infty(x+2x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(x+2x+1r)^x
O conteúdo envolvido é reconhecimento de expressão da forma l(1+u(x)r)^1/u(x)cdot x,u(x) que tende a e. Para resolver, vamos usar a transformação com logaritmo e o fato de que limtto0ln(1+t)/t=1.

Passo 2

Definimos
y = l(x+2x+1r)^x
Para facilitar, tomamos o logaritmo natural de y:
ln y = x;ln!l(tfracx+2x+1r)

Passo 3

Podemos reescrever o limite original em termos de ln y:
limxtoinftyy = exp!l(limxtoinftyln yr) = exp!l(limxtoinftyx,ln!l(tfracx+2x+1r)r)
Agora precisamos calcular
L = limxtoinftyx;ln!l(tfracx+2x+1r)

Passo 4

Observamos que
ln!l(tfracx+2x+1r) = ln!l(1 + tfrac1x+1r)
Como limtto0ln(1+t)t=1, com t=tfrac1x+1to0, temos
ln!l(1+tfrac1x+1r) sim tfrac1x+1
Logo
L = limxtoinftyx;1x+1 = limxtoinftyxx+1 =1

Passo 5

Substituindo L na expressão da exponencial:
limxtoinftyy = exp(L) = exp(1) = e

Resposta

e

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