Resolva as seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver usando o método de Bernoulli. Aqui identificamos que é uma equação da forma
com
,
e
. Vamos usar a substituição clássica para Bernoulli.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por
(supondo
):
Passo 3
Para Bernoulli com expoente
fazemos a substituição
Calculamos
em função de
e
:
Queremos eliminar
, então isolamos
da equação padrão:
Substituindo em
:
Mas
, então
Passo 4
Reescrevendo o resultado:
que é uma equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicamos tudo por
:
Integrando em
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Voltamos a
:
Invertendo e isolando
:
logo
Também existe a solução trivial
.
Resposta
A solução geral (não trivial) é
com
constante arbitrária, e há ainda a solução singular
.