Resolva as seguintes equações de Bernoulli
x y^prime+y=x^3 y^3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y' + y = x^3y^3
e pede para resolver usando o método de Bernoulli. Aqui identificamos que é uma equação da forma
y' + P(x)y = Q(x)y^n
com P(x)=1/x, Q(x)=x^2 e n=3. Vamos usar a substituição clássica para Bernoulli.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por x (supondo xneq0):
y' + 1x,y = x^2,y^3

Passo 3

Para Bernoulli com expoente n=3 fazemos a substituição
u = y^,1-n = y^-2
Calculamos u' em função de y e y':
u' = -2,y^-3y'
Queremos eliminar y', então isolamos y' da equação padrão:
y' = -1xy + x^2y^3
Substituindo em u':
u' = -2,y^-3l(-1xy + x^2y^3r) = 2xy^-2 -2x^2
Mas y^-2=u, então
u' = 2xu -2x^2

Passo 4

Reescrevendo o resultado:
u' - 2xu = -2x^2,
que é uma equação linear em u. O fator integrante é
mu(x) = expl(-2integraldxxr)=exp(-2ln x)=x^-2
Multiplicamos tudo por x^-2:
x^-2u' - 2x^-3u = -2 Longrightarrow l(x^-2ur)' = -2
Integrando em x:
x^-2u = integral -2,dx = -2x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltamos a u=y^-2:
y^-2 = x^2l(-2x + Cr) = -2x^3 + Cx^2
Invertendo e isolando y:
y^2 = 1Cx^2-2x^3 =1x^2(C-2x),
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y(x)=pm1xraiz,C-2x,
Também existe a solução trivial yequiv0.

Resposta

A solução geral (não trivial) é
y(x)=pm1xraiz,C-2x,,
com C constante arbitrária, e há ainda a solução singular yequiv0.

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