Equação de Riccati. A equação
d yd t=q1(t)+q2(t) y+q3(t) y^2
é conhecida como uma equação de Riccati. Suponha que alguma solução particular y1(t) dessa equação é conhecida. Uma solução geral contento uma constante arbitrária pode ser obtida através da substituição
y=y1(t)+1v(t), então mostre que v(t) satisfaz a edo d vd t=-(q2+2 q3 y1) v-q3 ã
E dadas as seguintes equações de Riccati, encontre a solução geral
a) d yd t=1+t^2-2 t y+y^2, com y1(t)=t
b) d yd t=2 cos ^2(t)-sen^2(t)+y^22 cos (t), com y1(t)=sen(t)

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
dydt=q1(t)+q2(t),y+q3(t),y^2,
para a qual conhecemos uma solução particular y1(t). Ele pede que façamos a substituição
y=y1(t)+1v(t)
e mostremos que v(t) satisfaz a equação linear de primeira ordem
dvdt=-l(q2(t)+2,q3(t),y1(t)r),v ;-;q3(t)
Em seguida, com essa redução a uma ODE linear, vamos aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral de y. Nos itens (a) e (b) vamos identificar q1,q2,q3 e resolver.

Passo 2

Fazendo y=y1+tfrac1v temos
dydt=dy1dt-1v^2dvdt
Por outro lado,
q1+q2y+q3y^2 =l(q1+q2y1+q3y1^2r) +q2+2q3y1v+q3v^2
Como y1 é solução particular, tfracdy1dt=q1+q2y1+q3y1^2. Logo, igualando as duas expressões de tfracdydt e cancelando tfracdy1dt, obtemos
-1v^2dvdt =q2+2q3y1v+q3v^2
Multiplicando por -v^2 segue
dvdt =-l(q2+2q3y1r),v ;-;q3

Passo 3

A ODE para v é linear:
dvdt+l(q2+2q3y1r)v=-q3
O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integrall(q2(t)+2q3(t)y1(t)r),dtr)
Multiplicando por mu e integrando:
ddtl(v,mur) =-q3,mu Longrightarrow v,mu=C-integral q3(t),mu(t),dt
e
v(t) =1mu(t)l(C-integral q3(t),mu(t),dtr)
Finalmente y=y1+1/v.

Passo 4

Caso (a):
dydt=1+t^2-2t,y+y^2, y1(t)=t
Aqui q1=1+t^2, q2=-2t, q3=1. Calculamos
q2+2q3y1=-2t+2t=0,
de modo que a ODE de v é
dvdt=-1 Longrightarrow v(t)=-t+C
Logo
y(t)=t+1v(t) =t+1C-t

Passo 5

Caso (b):
dydt =2cos^2t-sin^2t+y^22cos t, y1(t)=sin t
Reescrevendo,
q1=2cos^2t-sin^2t2cos t, q2=0, q3=12cos t
Então
q2+2q3y1=2cdot12cos tsin t=tan t,
e a ODE de v é
dvdt+tan t,v=-12cos t
O fator integrante é mu=exp!l(integraltan t,dtr)=sec t. Multiplicando:
ddt(vsec t) =-tfrac12sec^2t Longrightarrow vsec t=-tfrac12tan t +C Longrightarrow v=Ccos t-tfrac12sin t
Portanto
y(t)=sin t+1Ccos t-tfrac12sin t

Resposta

a) y(t)=t+1C-t.
b) y(t)=sin t+1Ccos t-tfrac12sin t.

Exercícios relacionados