Equação de Riccati. A equação
é conhecida como uma equação de Riccati. Suponha que alguma solução particular
dessa equação é conhecida. Uma solução geral contento uma constante arbitrária pode ser obtida através da substituição
E dadas as seguintes equações de Riccati, encontre a solução geral
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
para a qual conhecemos uma solução particular
. Ele pede que façamos a substituição
e mostremos que
satisfaz a equação linear de primeira ordem
Em seguida, com essa redução a uma ODE linear, vamos aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
. Nos itens (a) e (b) vamos identificar
e resolver.
Passo 2
Fazendo
temos
Por outro lado,
Como
é solução particular,
. Logo, igualando as duas expressões de
e cancelando
, obtemos
Multiplicando por
segue
Passo 3
A ODE para
é linear:
O fator integrante é
Multiplicando por
e integrando:
e
Finalmente
.
Passo 4
Caso (a):
Aqui
,
,
. Calculamos
de modo que a ODE de
é
Logo
Passo 5
Caso (b):
Reescrevendo,
Então
e a ODE de
é
O fator integrante é
. Multiplicando:
Portanto
Resposta
a)
.
b) .
b)