Calcule lim x infty[1-14+116-ldots+(-1)^n 14^n]

Passo 1

O enunciado pede calcular
limntoinftyl[1 - tfrac14 + tfrac116 - cdots + (-1)^ntfrac14^nr]
Trata-se da soma de uma série geométrica de primeiro termo a=1 e razão r=-tfrac14. Vamos primeiro obter a soma parcial Sn e depois fazer ntoinfty.

Passo 2

A soma parcial de uma série geométrica é dada por
Sn ;=;sumk=0^na,r^k ;=;al(1 - r^,n+1r)1 - r
Aqui a=1 e r=-tfrac14, logo
Sn =1 - l(-tfrac14r)^n+11 - l(-tfrac14r)

Passo 3

Simplificando o denominador e o termo em potência:
1 - l(-tfrac14r) =1 + tfrac14 =tfrac54, l(-tfrac14r)^n+1 =(-1)^n+14^,n+1
Logo
Sn =1 - dfrac(-1)^n+14^,n+15/4 =45l(1 - (-1)^n+14^,n+1r)

Passo 4

Ao fazermos ntoinfty, o termo (-1)^n+14^,n+1to0. Portanto
limntoinftySn =45,(1-0) =45

Resposta

45

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