Calcule os limites utilizando o “Limite Fundamental Trigonométrico”:
lim x a(x^n-a^n) cos 1x-a

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto al(x^n - a^nr)cos1x-a,
usando propriedades de limites e o fato de que a função cos é limitada. O conteúdo envolve manipulação algébrica (fatoração de diferença de potências) e o teorema do confronto (sanduíche), que se apoia no “limite fundamental trigonométrico” no sentido de usar que cos é uma função limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Fatoramos a diferença de potências. Lembrando que
x^n - a^n = (x - a)l(x^n-1 + x^n-2a + cdots + xa^n-2 + a^n-1r),
podemos escrever a função dentro do limite como
(x^n - a^n)cos1x-a = (x - a),S(x),cos1x-a,
onde definimos
S(x) = x^n-1 + x^n-2a + cdots + a^n-1

Passo 3

Observamos duas propriedades:
  1. Quando x to a, temos
S(x);longrightarrow; n,a^n-1,
pois cada termo de S(x) tende a a^n-1 e há n termos.
  1. A função cos é limitada, isto é, para todo t vale
-1 <= cos t <= 1
Então para xneq a vale
-(x - a),S(x) ;<=;(x - a),S(x),cos1x-a;<=;(x - a),S(x)

Passo 4

Aplicamos o teorema do confronto. Como limxto a(x-a),S(x)=0cdot(n,a^n-1)=0 e o lado negativo igualmente tende a zero, o termo intermediário também tende a zero. Logo,
limxto a(x - a),S(x),cos1x-a =0

Resposta

0

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