Na série infinita dada, determine a fórmula para Sn em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
Questão 2 (2 pontos) 1,2.5 )
sumn=1^infty 6(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a fórmula da soma parcial Sn em termos de n, verificar se a série sumn=1^infty6(2n-1)(2n+1) converge ou diverge e, se for convergente, achar a soma. Isso é conteúdo de séries infinitas, mais especificamente séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e entender o cancelamento telescópico.

Passo 2

A gente faz a decomposição em frações parciais do termo geral. A decomposição em frações parciais é um jeito de escrever uma fração racional como soma de frações mais simples. Escrevemos:

Passo 3

[\frac{6}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}]

Passo 4

Multiplicando em cruz, ficamos com

Passo 5

[6 = A(2n+1) + B(2n-1)]

Passo 6

Igualando coeficientes de n e dos termos constantes, obtemos o sistema:
  • Coeficiente de n: 2A+2B=0 implica A+B=0.
  • Termos constantes: A-B=6.
    Resolvendo, a gente encontra A=3 e B=-3. Assim:

Passo 7

[\frac{6}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{3}{2n-1} - \frac{3}{2n+1}]

Passo 8

Com o termo geral em mãos, montamos a soma parcial até n:

Passo 9

[ S_n = \sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{3}{2k-1} - \frac{3}{2k+1}\Bigr) ]

Passo 10

Escrevendo alguns termos explicitamente a gente percebe o telescopamento (quase tudo se cancela). Só sobra o primeiro pedacinho de 3/(2cdot1-1)=3 e o último negativo -3/(2n+1). Fazendo essa conta, chega:

Passo 11

[ S_n = 3 - \frac{3}{2n+1} ]

Passo 12

Para saber se essa série converge, a gente olha o limite de Sn quando ntoinfty. Como limntoinfty32n+1=0, temos limntoinftySn=3. Logo, a série é convergente e converge para 3.

Resposta

A fórmula da soma parcial é Sn = 3 - 32n+1. A série é convergente e sua soma é 3.

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