Na série infinita dada, determine a fórmula para
em termos de
. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
Questão 2 (2 pontos)
)
Questão 2 (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar a fórmula da soma parcial
em termos de
, verificar se a série
converge ou diverge e, se for convergente, achar a soma. Isso é conteúdo de séries infinitas, mais especificamente séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e entender o cancelamento telescópico.
Passo 2
A gente faz a decomposição em frações parciais do termo geral. A decomposição em frações parciais é um jeito de escrever uma fração racional como soma de frações mais simples. Escrevemos:
Passo 3
[\frac{6}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}]
Passo 4
Multiplicando em cruz, ficamos com
Passo 5
[6 = A(2n+1) + B(2n-1)]
Passo 6
Igualando coeficientes de
e dos termos constantes, obtemos o sistema:
- Coeficiente de
: implica . - Termos constantes:
.
Resolvendo, a gente encontrae . Assim:
Passo 7
[\frac{6}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{3}{2n-1} - \frac{3}{2n+1}]
Passo 8
Com o termo geral em mãos, montamos a soma parcial até
:
Passo 9
[ S_n = \sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{3}{2k-1} - \frac{3}{2k+1}\Bigr) ]
Passo 10
Escrevendo alguns termos explicitamente a gente percebe o telescopamento (quase tudo se cancela). Só sobra o primeiro pedacinho de
e o último negativo
. Fazendo essa conta, chega:
Passo 11
[ S_n = 3 - \frac{3}{2n+1} ]
Passo 12
Para saber se essa série converge, a gente olha o limite de
quando
. Como
, temos
. Logo, a série é convergente e converge para 3.
Resposta
A fórmula da soma parcial é
. A série é convergente e sua soma é 3.