Calcule
integral duplaR 8 y x^3 d x d y, sendo R=(x, y) mid-1 <= y <= 2,-1 <= x <= y^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR8,y,x^3,dx,dy
sobre a região
R=(x,y)mid -1<= y<= 2,;-1<= x<= y^2+1
O conteúdo é integração iterada: vamos primeiro integrar em x mantendo y fixo, e depois em y.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada conforme os limites dados:
integraly=-1^2l[integralx=-1^,y^2+18,y,x^3,dxr]dy
Dentro, y é constante, então
integral 8,y,x^3,dx =8,ycdotx^44 =2,y,x^4

Passo 3

Avaliamo-lo entre x=-1 e x=y^2+1:
2,yl[(y^2+1)^4-(-1)^4r] =2,yl[(y^2+1)^4-1r]
Assim a integral em y fica
integral-1^22,yl[(y^2+1)^4-1r]dy

Passo 4

Separamos em duas partes por linearidade:
2integral-1^2y,(y^2+1)^4dy ;-; 2integral-1^2y,dy

Passo 5

Para integral y,(y^2+1)^4dy usamos a substituição
u=y^2+1, du=2y,dyLongrightarrow y,dy=du2
Quando y=-1, u=2; quando y=2, u=5. Logo
integral-1^2y,(y^2+1)^4dy =integralu=2^5u^4,du2 =12,l[u^55r]2^5 =12cdot5^5-2^55 =309310
Multiplicando por 2
2integral-1^2y,(y^2+1)^4dy =30935

Passo 6

Agora calculamos a outra parte:
2integral-1^2y,dy =2l[y^22r]-1^2 =l[y^2r]-1^2 =4-1=3

Passo 7

Subtraindo as duas partes, obtemos o valor da integral:
30935-3 =3093-155 =30785

Resposta

30785.

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