Dados os vetores u=(3,2), v=(2,4) e w=(1,3), exprimir w como combinação linear de u e v. RESP: w=-14 u+78 v

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,2), v=(2,4) e w=(1,3) no plano R^2 e pede para escrever w como combinação linear de u e v.
Para isso, vamos supor que existam escalares a e b tais que
w = a,u + b,v
e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos
(1,3) = a,(3,2) + b,(2,4)
o que gera o sistema
1 = 3a + 2b, 3 = 2a + 4b

Passo 3

Para encontrar a e b, destacamos as equações:
1 &= 3a + 2b, 3 &= 2a + 4b
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda, obtemos
2 = 6a + 4b e 3 = 2a + 4b ;Longrightarrow; 2 - 3 = (6a+4b)-(2a+4b) ;Longrightarrow; -1 = 4a ;Longrightarrow; a = -tfrac14
Substituindo a em 1 = 3a + 2b, vem
1 = 3l(-tfrac14r) + 2b ;Longrightarrow; 1 = -tfrac34 + 2b ;Longrightarrow; 2b = 1 + tfrac34 = tfrac74 ;Longrightarrow; b = tfrac78

Passo 4

Logo, a combinação linear pedida é
w = -tfrac14,u + tfrac78,v

Resposta

w = -tfrac14,u + tfrac78,v

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