Sabendo que Lf^prime(t)=s Lf(t)-f(0) e que
La y^prime+b y=a Ly^prime+b Ly
Resolva os PVI’s abaixo
y^prime-y=2 cos (5 t), y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o PVI y'(t)-y(t)=2cos(5t) com condição inicial y(0)=0. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem usando transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade Ly'(t)=sY(s)-y(0) e da linearidade de L.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace e usando y(0)=0, temos
(sY(s)-0)-Y(s)=2ss^2+25
Logo, agrupando termos,
(s-1)Y(s)=2ss^2+25
e isolando Y(s):
Y(s)=2s(s-1)(s^2+25)

Passo 3

Agora vamos fazer decomposição em frações parciais para [Y(s)). Supondo que
Multiplicando pelo denominador comum:
Expandindo e comparando coeficientes em relação a , e termo constante, obtemos o sistema
Dessa forma chega-se a e .

Passo 4

Substituindo A,B,C em Y(s), fica
Y(s)=tfrac113s-1+-tfrac113s+tfrac2513s^2+25
Separando em termos conhecidos:
Y(s)=1131s-1-113ss^2+25+25131s^2+25

Passo 5

Agora invertendo a transformada termo a termo:
  • L^-1tfrac1s-1=e^t
  • L^-1tfracss^2+25=cos(5t)
  • L^-1tfrac1s^2+25=tfrac15sin(5t)
Logo, temos
y(t)=113e^t-113cos(5t)+2513cdot15sin(5t)
e simplificando:
y(t)=113e^t-113cos(5t)+513sin(5t)

Resposta

y(t)= 113e^t-113cos(5t)+513sin(5t)

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