Calcule
integral duplaR 15 x^2-6 y d x d y, sendo R a região limitada por x=12 y^2 e x=4 raizy ã

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaRl(15x^2-6yr),dx,dy
onde R é a região do plano limitada pelas curvas
x=tfrac12,y^2 e x=4raizy
O conteúdo aqui é integral dupla sobre uma região do tipo “vertical” (tipo I), em que vamos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Precisamos encontrar os valores de y onde as curvas se intersectam, resolvendo
tfrac12,y^2=4raizy,
para y>=0. Fazendo t=raizy ( y=t^2), fica
tfrac12,t^4=4,t Longrightarrow tl(t^3-8r)=0 Longrightarrow t=0;ou;t=2
Logo y=0 ou y=4. Para 0<= y<=4, compara-se tfrac12y^2 e 4raizy: verifica-se que tfrac12y^2<=4raizy. Assim
0<= y<=4, tfrac12y^2<= x<=4raizy

Passo 3

Escrevemos a integral iterada e integramos em x:
integral duplaR(15x^2-6y),dx,dy =integraly=0^4l[integralx=tfrac12y^2^4raizyl(15x^2-6yr),dxr]dy
No interior:
integral!(15x^2-6y),dx =15cdotx^33-6y,x =5x^3-6y,x
Avalia de x=tfrac12y^2 até x=4raizy:
l(5x^3-6y,xr)|x=tfrac12y^2^x=4raizy = l[5(4raizy)^3-6y,(4raizy)r] -l[5l(tfrac12y^2r)^3-6yl(tfrac12y^2r)r]
Calculando cada termo:
5(4raizy)^3=5cdot64,y^3/2=320,y^3/2, 6ycdot4raizy=24,y^3/2,
5l(tfrac12y^2r)^3=5cdottfrac18y^6=tfrac58y^6, 6ycdottfrac12y^2=3y^3
Portanto o integrando em y fica
320,y^3/2-24,y^3/2 -l(tfrac58y^6-3y^3r) =296,y^3/2+3y^3-tfrac58y^6

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^4l(296,y^3/2+3y^3-tfrac58y^6r),dy =296integral0^4y^3/2dy +3integral0^4y^3dy -tfrac58integral0^4y^6dy
Calculando cada antiderivada:
integral y^3/2dy=y^5/25/2=25y^5/2, integral y^3dy=y^44, integral y^6dy=y^77
Então
296cdot25y^5/2 +3cdoty^44 -58cdoty^77 =5925y^5/2+34y^4-556y^7
avaliado de 0 a 4.

Passo 5

Avalia em y=4 (em y=0 dá zero):
5925,4^5/2 +34,4^4 -556,4^7
Como 4^5/2=(raiz4)^5=2^5=32, 4^4=256, 4^7=16384, obtemos
5925cdot32 +34cdot256 -556cdot16384 =189445+192-102407
Colocando sobre o mesmo denominador 35 resulta
132608+6720-5120035 =8812835

Resposta

boxed8812835

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