Calcule
integral duplaR e^y^2+1 d x d y, sendo R o triângulo de vértices (0,0),(-2,4) e (8,4) âé

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^y^2+1,dx,dy,
onde R é o triângulo de vértices (0,0), (-2,4) e (8,4).
Conteúdo: integração em coordenadas cartesianas, descrição de região por inequações, e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Vamos descrever R como
R = (x,y)mid 0<= y<=4,;xL(y)<= x<= xR(y)
As arestas que tocam (0,0) e (-2,4) têm equação
xL(y) = -tfrac2-04-0,y = -tfrac12,y,
e a aresta que liga (0,0) a (8,4) é
xR(y) = tfrac8-04-0,y = 2,y

Passo 3

Assim podemos escrever
integral duplaR e^y^2+1,dx,dy = integraly=0^4!l(integralx=-tfrac12y^2y e^y^2+1,dxr),dy

Passo 4

Como o integrando e^y^2+1 não depende de x, fazemos a integral interna diretamente:
integralx=-tfrac12y^2y e^y^2+1,dx = l(2y -(-tfrac12y)r),e^y^2+1 = tfrac52y,e^y^2+1
Logo a integral dupla vira
integral0^4 tfrac52y,e^y^2+1,dy

Passo 5

Para calcular
integral0^4 y,e^y^2+1,dy
fazemos a substituição
u = y^2+1, du = 2y,dy ;Longrightarrow; y,dy = tfrac12,du
Quando y=0, u=1; quando y=4, u=17. Assim
integral0^4 y,e^y^2+1,dy = integralu=1^17 e^u,tfrac12,du = tfrac12l[e^ur]1^17 = tfrac12(e^17-e)
Multiplicando o fator tfrac52 que tínhamos fora, obtemos
integral0^4 tfrac52y,e^y^2+1,dy = tfrac52cdot tfrac12(e^17-e) = tfrac54l(e^17-er)

Resposta

integral duplaR e^y^2+1,dx,dy = 54l(e^17-er)

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