Calcule o volume do sólido limitado pela superfície z=10-14 x^2-19 y^2, pelos planos x=2, y=2, e pelos três planos coordenados.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o volume de um “tampão” embaixo da superfície
z = 10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2
e acima do retângulo do plano xy definido por 0<= x<=2 e 0<= y<=2, além dos planos coordenados (ou seja, z>=0).
Conteúdo: cálculo de volume usando integrais (tripla ou, mais simples, dupla). Vamos usar a ideia de que o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre um domínio D vale
integral dupla D f(x,y),dx,dy

Passo 2

Primeiro, escrevemos o volume como integral tripla e “colapsamos” a parte em z:
V ;=;idotsintE dV ;=;integralx=0^2!integraly=0^2!integralz=0^,10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2 dz,dy,dx
Teoria rápida: integralz=0^f(x,y)dz = f(x,y).

Passo 3

Fazendo a integral em z:
integralz=0^,10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2dz =10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2
Agora virou uma dupla integral no retângulo [0,2]times[0,2]:
V = integral0^2!integral0^2l(10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2r),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^2l(10 - tfrac14x^2 - tfrac19y^2r),dy = l[10y - tfrac14x^2,y - tfrac19!cdottfracy^33r]0^2 = 20 - tfracx^22 - tfrac827
Pra simplificar, 20 - tfrac827 = tfrac54027-tfrac827 = tfrac53227.
Então agora
V = integral0^2l(tfrac53227 - tfracx^22r),dx

Passo 5

Bora integrar em x:
integral0^2tfrac53227,dx = tfrac53227cdot2 = tfrac106427, integral0^2tfracx^22,dx = tfrac12cdottfrac2^33 = tfrac43
Logo
V = tfrac106427 ;-; tfrac43 = tfrac106427 - tfrac3627 = tfrac102827

Resposta

O volume do sólido é 102827.

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