Calcule integral triplaB 1 d x d y d z, B=(x, y, z): x^2+y^2 <= z <= 2 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região B definida por x²+y²≤z≤2x, ou seja, calcular integral triplaB1,dx,dy,dz. Isso cai em conteúdo de coordenadas cilíndricas e uso de jacobiano para achar volumes.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume vira dV=r,dz,dr,dtheta. A condição x^2+y^2<= z<=2x vira r^2<= z<=2rcostheta. Para ter r^2<=2rcostheta com r>=0 precisamos de costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e rin[0,2costheta].

Passo 3

O integral fica então

Passo 4

Primeiro integramos em :

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^2costheta(2r^2costheta-r^3),dr=2costhetaintegral0^2costhetar^2dr-integral0^2costhetar^3dr
Calculando cada parte:
2costhetacdot(2costheta)^33-(2costheta)^44=163cos^4theta-4cos^4theta=43cos^4theta

Passo 6

Finalmente integramos em theta, aproveitando que o integrando é par:
integral-pi/2^pi/243cos^4theta,dtheta=83integral0^pi/2cos^4theta,dtheta
Usando integral0^pi/2cos^4theta,dtheta=tfrac3pi16 vem
83cdot3pi16=8pi16=pi2

Resposta

pi2

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