Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região B definida por x²+y²≤z≤2x, ou seja, calcular
. Isso cai em conteúdo de coordenadas cilíndricas e uso de jacobiano para achar volumes.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas cilíndricas:
,
,
e o elemento de volume vira
. A condição
vira
. Para ter
com
precisamos de
, ou seja
e
.
Passo 3
O integral fica então
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Calculando cada parte:
Passo 6
Finalmente integramos em
, aproveitando que o integrando é par:
Usando
vem