Calcule o volume do sólido limitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e x^2+ z^2=1.

Passo 1

Temos dois cilindros perpendiculares de raio 1 dados por x^2+y^2=1 e x^2+z^2=1. Queremos calcular o volume de sua interseção. O conteúdo da matéria envolve integrais triplas e o uso do Teorema de Cavalieri para seções transversais. Vamos usar o Teorema de Fubini para reduzir a integral tripla a uma integral em x.

Passo 2

Para cada x fixo em [-1,1], as condições x^2+y^2<=1 e x^2+z^2<=1 implicam |y|<=raiz1-x^2 e |z|<=raiz1-x^2. A seção transversal no plano (y,z) é um retângulo de lados 2raiz1-x^2, portanto sua área é A(x)=4(1-x^2).
O volume do sólido é dado pela integral da área transversal em x. Assim:
V=integral-1^14(1-x^2),dx

Passo 3

Para calcular essa integral, usamos a antiderivada de 4(1-x^2):
integral-1^14(1-x^2),dx =4[x-x^33]-1^1 =4((1-13)-(-1+13)) =4cdot43 =163

Resposta

O volume do sólido é tfrac163.

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