Calcule integral0^pi integral0^x sen(yx) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^piintegral0^xsen!l(yxr),dy,dx
O conteúdo envolve integração múltipla e uso de mudança de variável para simplificar a região triangular 0<= y<= x<=pi.

Passo 2

Para linearizar o argumento de sen e descrever a região de forma retangular, fazemos a mudança de variável
u = yx, v = x
Então y = uv e x = v. A região original 0<= y<= x<=pi vira
0<= u<=1, 0<= v<=pi

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(y,x). Temos
y = uv, x = v
e
partial(y,x)partial(u,v) =det partial y/partial u & partial y/partial v partial x/partial u & partial x/partial v =det v & u 0 & 1 = v
Logo dy,dx = v,du,dv. Além disso sen(y/x)=sen(u).

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integralv=0^piintegralu=0^1sen(u),v,du,dv =l(integralv=0^piv,dvr)l(integralu=0^1sen(u),dur)
Calculamos separadamente
integralv=0^piv,dv =pi^22, integralu=0^1sen(u),du =l[-cos(u)r]0^1 =1-cos(1)

Resposta

pi^22,l(1-cos(1)r)

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