Calcule a integral integral duplaD x y d A usando a ordem de integração " d y d x " e usando a ordem de integração " d x d y ", onde D é a região limitada pela interseção y=x e y=x^22.
7. Utilizando a integral dupla, determine a área da região compreendida entre os gráficos das funções y=x e y=-x^2+x+1, com -1 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, calcular
I=integral duplaD x,y,dA
na região D limitada pelas curvas y=x e y=tfracx^22, usando as duas ordens de integração: dydx e dxdy. Em seguida, usar integral dupla para achar a área da região limitada por y=x e y=-x^2+x+1 para -1<= x<=1.
Conteúdos usados: interseção de curvas, descrição de região para integrais duplas e cálculo de área por integral duplaRdA.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção de
y = x e y = x^22
Igualando,
x = x^22 ;Longrightarrow; x!l(x2-1r)=0 ;Longrightarrow; x=0;ou;x=2
Para 0<= x<=2, observa-se que
x^22<= x,
logo em cada x fixo y varia de tfracx^22 até x.

Passo 3

Integração na ordem dydx:
I =integralx=0^2!l[integraly=x^22^y=x x,y,dyr]dx
No interno, x é constante em y,
integralx^22^x x,y,dy = x[y^22]y=x^22^y=x = xl(x^22-x^48r) = x^32-x^58
Agora integrar em x:
I =integral0^2l(x^32-x^58r)dx =[x^48-x^648]0^2 =2^48-2^648 =2-43 =23

Passo 4

Integração na ordem dxdy. Primeiro, identificar para cada y fixo em [0,2] os valores de x. Da curva y=x vem x=y. Da curva y=x^22 vem x=pmraiz2y, mas na região considerada x>=0, logo x=raiz2y.
Para 0<= y<=2 compara-se y e raiz2y: em 0<y<2 tem y<raiz2y. Assim,
0<= y<=2, y<= x<= raiz2y
A integral fica
I =integraly=0^2!l[integralx=y^x=raiz2y x,y,dxr]dy
No interno,
integraly^raiz2yx,dx =[x^22]x=y^x=raiz2y =2y2-y^22 =y-y^22,
multiplicado por y
yl(y-y^22r) =y^2-y^32
Agora em y:
I =integral0^2l(y^2-y^32r)dy =[y^33-y^48]0^2 =83-2 =23

Passo 5

Em ambas as ordens de integração obtemos
boxedI=23

Passo 6

Agora a área da região R limitada por
y = x e y = -x^2+x+1,
com -1<= x<=1.
Resolver interseção
x = -x^2+x+1 ;Longrightarrow; x^2-1=0 ;Longrightarrow; x=pm1,
com pontos (-1,-1) e (1,1). Para -1<= x<=1, a parabola é acima da reta, isto é
ytop=-x^2+x+1, ybot=x

Passo 7

Montar integral de área por dydx:
Área(R) =integralx=-1^1!l[integraly=x^y=-x^2+x+1dyr]dx =integral-1^1l((-x^2+x+1)-xr),dx =integral-1^1(-x^2+1),dx Á
Calcular:
integral-1^1(-x^2+1),dx =l[-x^33+xr]-1^1 =l(-tfrac13+1r)-l(tfrac13-1r) =23-l(-tfrac23r) =43

Resposta

I. integral duplaDx,y,dA=tfrac23 em ambas as ordens.
II. A área da região entre y=x e y=-x^2+x+1 é tfrac43.

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