Calcule a integral
usando a ordem de integração "
" e usando a ordem de integração "
", onde
é a região limitada pela interseção
e
.
7. Utilizando a integral dupla, determine a área da região compreendida entre os gráficos das funções
e
, com
.
7. Utilizando a integral dupla, determine a área da região compreendida entre os gráficos das funções
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, calcular
na região
limitada pelas curvas
e
, usando as duas ordens de integração:
e
. Em seguida, usar integral dupla para achar a área da região limitada por
e
para
.
Conteúdos usados: interseção de curvas, descrição de região para integrais duplas e cálculo de área por .
Conteúdos usados: interseção de curvas, descrição de região para integrais duplas e cálculo de área por
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção de
Igualando,
Para
, observa-se que
logo em cada
fixo
varia de
até
.
Passo 3
Integração na ordem
:
No interno,
é constante em
,
Agora integrar em
:
Passo 4
Integração na ordem
. Primeiro, identificar para cada
fixo em
os valores de
. Da curva
vem
. Da curva
vem
, mas na região considerada
, logo
.
Para compara-se
e
: em
tem
. Assim,
Para
A integral fica
No interno,
multiplicado por
dá
Agora em
:
Passo 5
Em ambas as ordens de integração obtemos
Passo 6
Agora a área da região
limitada por
com
.
Resolver interseção
Resolver interseção
com pontos
e
. Para
, a parabola é acima da reta, isto é
Passo 7
Montar integral de área por
:
Calcular:
Resposta
I.
em ambas as ordens.
II. A área da região entre e
é
.
II. A área da região entre