1.8 Calcule lim x infty(1+2x)^x+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(1+2xr)^x+3
O conteúdo envolvido são limites de forma exponencial do tipo l(1+tfracaxr)^x, que usamos para reconhecer a constante e.

Passo 2

Reescrevemos a potência para separar a parte que cresce com x da parte constante:
l(1+2xr)^x+3 =l(1+2xr)^x;l(1+2xr)^3

Passo 3

Calculamos
limxtoinftyl(1+2xr)^x
Pela propriedade clássica limxtoinftyl(1+tfracaxr)^x=e^a, com a=2, vem
limxtoinftyl(1+2xr)^x=e^2

Passo 4

Agora calculamos
limxtoinftyl(1+2xr)^3
Como limxtoinftyl(1+tfrac2xr)=1, segue
limxtoinftyl(1+2xr)^3=1^3=1

Passo 5

Combinar os resultados pelo produto de limites:
limxtoinftyl(1+2xr)^x+3 =underbracelimxtoinftyl(1+2xr)^xe^2 ;cdot; underbracelimxtoinftyl(1+2xr)^31 =e^2

Resposta

e^2

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