1. sumk=1^infty (k^2+1)k! x^k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em forma fechada, a função de variável real x dada pela série de potências
S(x)=sumk=1^inftyk^2+1k!x^k
O conteúdo aqui é séries de potências e uso das expansões conhecidas de e^x e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro lembre que
sumk=0^inftyx^kk!=e^x,
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sumk=1^inftyx^kk!=e^x-1

Passo 3

Para sumk=1^inftyk,x^kk! usamos o truque da derivada de e^x:
sumk=0^inftyk,x^kk! =xddxl(sumk=0^inftyx^kk!r) =xddx(e^x) =x,e^x
Como o termo k=0 é nulo, vale também
sumk=1^inftyk,x^kk!=x,e^x

Passo 4

Para sumk=1^inftyk^2,x^kk! escrevemos k^2=k(k-1)+k. Assim
sumk=1^inftyk(k-1),x^kk! =sumk=2^inftyx^k(k-2)! =x^2e^x,
portanto
sumk=1^inftyk^2,x^kk! =x^2e^x+sumk=1^inftyk,x^kk! =x^2e^x+x,e^x

Passo 5

Agora montamos
S(x) =sumk=1^inftyk^2,x^kk! +sumk=1^inftyx^kk! =(x^2e^x+x,e^x)+(e^x-1) =(x^2+x+1)e^x-1

Resposta

S(x)=(x^2+x+1)e^x-1

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