Use o Teorema da comparação para determinar se a seguinte integral é convergente
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que vai de 1 até o infinito da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma integral é convergente ou divergente comparando-a com outra que já sabemos o comportamento. Para isso, vamos precisar entender como comparar funções e analisar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral para facilitar a comparação. Olha só:
Quando
fica bem grande, o termo
domina o
, então podemos aproximar a expressão assim:
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa função original
com a função simplificada
. Sabemos que para
:
Portanto:
Passo 4
A próxima etapa é analisar a integral da função com a qual estamos comparando, ou seja,
:
Sabemos que a integral de
de 1 ao infinito converge se
. Aqui,
, que é maior que 1, então essa integral converge.
Passo 5
Como nossa função original
é menor ou igual a
para
e a integral de
converge, pelo Teorema da Comparação, concluímos que:
Resposta
A integral
é convergente.