(1,5) Use o Teorema da comparação para determinar se a seguinte integral é convergente
integral1^+infty xx^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que vai de 1 até o infinito da função xx^3+1. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma integral é convergente ou divergente comparando-a com outra que já sabemos o comportamento. Para isso, vamos precisar entender como comparar funções e analisar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral para facilitar a comparação. Olha só:
xx^3 + 1
Quando x fica bem grande, o termo x^3 domina o +1, então podemos aproximar a expressão assim:
xx^3 + 1 approx xx^3 = 1x^2

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função original xx^3+1 com a função simplificada 1x^2. Sabemos que para x >= 1:
x^3 + 1 >= x^3
Portanto:
xx^3 + 1 <= xx^3 = 1x^2

Passo 4

A próxima etapa é analisar a integral da função com a qual estamos comparando, ou seja, 1x^2:
integral1^+infty 1x^2 dx
Sabemos que a integral de 1x^p de 1 ao infinito converge se p > 1. Aqui, p = 2, que é maior que 1, então essa integral converge.

Passo 5

Como nossa função original xx^3+1 é menor ou igual a 1x^2 para x >= 1 e a integral de 1x^2 converge, pelo Teorema da Comparação, concluímos que:

Resposta

A integral integral1^+infty xx^3+1 dx é convergente.

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