- O conjunto
é homeomorfo a
? Prove de duas maneiras diferentes:
a) Use propriedades de conjuntos compactos (Repita exercício 6)).
b) Use conexidade e obtenha uma absurdo da seguinte maneira: Suponha que exista um homeomorfismo
:
. Tire o ponto 0 de
e conclua que
continua sendo um homeomorfismo. Por que isso é um absurdo?
a) Use propriedades de conjuntos compactos (Repita exercício 6)).
b) Use conexidade e obtenha uma absurdo da seguinte maneira: Suponha que exista um homeomorfismo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe homeomorfismo entre
e
.
Conteúdos usados:
– Propriedades de espaços compactos
– Propriedades de espaços conexos
Conteúdos usados:
– Propriedades de espaços compactos
– Propriedades de espaços conexos
Passo 2
Prova usando compacidade.
Se é homeomorfismo então
é compacto se, e somente se,
é compacto.
Mas é compacto (é fechado e limitado, Teorema de Heine–Borel), enquanto
não é compacto (por exemplo, a sequência
em
não tem subsubsequência convergente).
Logo não pode existir homeomorfismo .
Se
Mas
Logo não pode existir homeomorfismo
Passo 3
Prova usando conectividade.
A conectividade é preservada por homeomorfismos.
A conectividade é preservada por homeomorfismos.
-
é desconexo, pois se decompõe em
ambos abertos e não vazios em
.
2) (onde
) é homeomorfo a um intervalo aberto em
, logo é conexo.
Se existisse homeomorfismo, então
2)
Se existisse
seria homeomorfismo entre um espaço desconexo e um espaço conexo, o que é impossível.
Resposta
Não existe homeomorfismo entre
e
.