1. O conjunto S^1 é homeomorfo a R ? Prove de duas maneiras diferentes:
    a) Use propriedades de conjuntos compactos (Repita exercício 6)).
    b) Use conexidade e obtenha uma absurdo da seguinte maneira: Suponha que exista um homeomorfismo h : R S^1. Tire o ponto 0 de R e conclua que h: R backslash0 S^1 backslashh(0) continua sendo um homeomorfismo. Por que isso é um absurdo?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe homeomorfismo entre R e S^1.
Conteúdos usados:
– Propriedades de espaços compactos
– Propriedades de espaços conexos

Passo 2

Prova usando compacidade.
Se fcolon Xto Y é homeomorfismo então X é compacto se, e somente se, Y é compacto.
Mas S^1subsetR^2 é compacto (é fechado e limitado, Teorema de Heine–Borel), enquanto R não é compacto (por exemplo, a sequência xn = n em R não tem subsubsequência convergente).
Logo não pode existir homeomorfismo hcolonRtoS^1.

Passo 3

Prova usando conectividade.
A conectividade é preservada por homeomorfismos.
  1. Rsetminus0 é desconexo, pois se decompõe em
(-infty,0)e(0,infty),
ambos abertos e não vazios em Rsetminus0.
2) S^1setminusp (onde p=h(0)) é homeomorfo a um intervalo aberto em R, logo é conexo.
Se existisse hcolonRtoS^1 homeomorfismo, então
hcolonRsetminus0;longrightarrow;S^1setminush(0)
seria homeomorfismo entre um espaço desconexo e um espaço conexo, o que é impossível.

Resposta

Não existe homeomorfismo entre R e S^1.

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